Plano de aulas de Teoria da Medida e Integração
Apresentação do curso: por que foi criada a Teoria de Integração de Lebesgue; vantagens do Integral de Lebesgue sobre o Integral de Riemman. Alguns exemplos paradigmáticos de sequência de funções integráveis à Riemman, convergentes em todo ponto, mas cujo limite não é integrável à Riemman, como motivação para a generalidade necessária à construção da teoria do integral de Lebesgue.
Início da construção da Teoria da Medida (de Lebesgue): funções de conjuntos; definição de sigma-álgebra e de medida; porque esta definição é natural e intimamente relacionada com a noção intuitiva de integral de Lebesgue.
Definição de medida exterior e propriedades elementares. Construção de medida exterior a partir de pré-medidas, exemplos e propriedades elementares da construção.
Conjuntos mensuráveis: definição e relação natural com a noção de medida. Construção de medida a partir de medida exterior via restrição à sigma-álgebra dos subconjuntos mensuráveis. Exemplos.
Propriedades das medidas obtidas através de medidas exteriores. Completude. Critério de mensurabilidade.
Relação entre as propriedades da medida exterior e da medida induzida. Semianéis de conjuntos e medidas em semianéis. Exemplos. Uso de medidas em semianéis como pré-medidas para construir medida exterior. Conjuntos mensuráveis destas medidas.
O Teorema de Extensão de medidas (de Charatéodory). Prova do Teorema de Extensão.
Exemplos de aplicação do Teorema de Extensão: medida de Lebesgue na reta; na circunferência; nos espaços euclidianos.
Corolário do Teorema de Extensão sobre unicidade da extensão à sigma-álgebra gerada.
Exemplos e resolução de exercícios.
Medidas em espaços topológicos e a noção de regularidade. Exemplos. Sigma e delta classes de conjuntos. Medidas regulares.
Medidas exteriores via pré-medidas em semianéis e aproximação da medida de conjuntos mensuráveis por elementos de um semianel. Exemplos.
Mais propriedades de medida exterior regular: sequências crescentes e decrescentes de conjuntos.
Contrução de novas medidas a partir de outras: restrição de medidas; supremo de família de medidas; ínfimo de uma família de medidas exteriores.
Exemplos e resolução de exercícios.
Medidas em espaços métricos: forma alternativa de construção de medidas exteriores via pré-medidas em espaços métricos. Mencionar relação com dimensão de Hausdorff.
Conjuntos positivamente separados e medidas métricas. Conjuntos fechados automaticamente mensuráveis em relação a toda medida métrica.
Vantagem das medidas exteriores métricas e resultados de aproximação de conjuntos mensuráveis no contexto de medidas métricas.
Exemplos e resolução de exercícios.
Conjuntos não mensuráveis: uso do Axioma da Escolha para obter subconjunto não mensurável de todo conjunto de medida de Lebesgue positiva da reta real. Observar que o mesmo vale para toda medida invariante por translação em qualquer grupo localmente compacto (nos toros ou outros grupos de Lie).
Exemplos e resolução de exercícios.
Primeira prova.
Funções mensuráveis: propriedades fundamentais. Critério de mensurabilidade. Convenções e operações com funções mensuráveis. Supremos e ínfimos de famílias de funções. Partes positiva e negativa de uma função. Módulo. Exemplos.
Os conceitos de lim s p e lim inf. Mensurabilidade de lim s p e lim inf de sequências de funções mensuráveis. Exemplos de aplicação: mensurabilidade de séries de funções. Funções simples. Integral de funções simples. Propriedades do integral de funções simples.
Integral (de Lebesgue) de funções mensuráveis não negativas e propriedades fundamentais.
Teorema da Convergência Monótona.
Exemplos e resolução de exercícios.
Conjuntos de medida nula e integração. Convergência em quase todo o ponto. Consequência no enunciado do Teorema da Convergência Monótona.
Limite e limite inferior e Lema de Fatou. Integral infinito e limites. Integral finita e valores infinitos. Funções integráveis.
Funções complexas: mensurabilidade, integração, integrabilidade. Teorema da Convergência dominada.
Exemplos e resolução de exercícios.
Integrais indefinidas. Continuidade absoluta e Teorema de Radon-Nikodym.
Teorema de Decomposição de Lebesgue.
Espaços de Lebesgue: seminorma nos espaços Lp e norma no quociente sobre funções que diferem em subconjuntos de medida nula. Desigualdades de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz e Minkowski.
Teorema de Completude (de Riesz-Fischer).
Dualidade entre os espaços Lp. Prova do Teorema de Dualidade.
Exemplos e resolução de exercícios.
Modos de convergência: pontual (em todo ponto); em quase todo ponto; uniforme; em Lp; dominada; em medida; quase uniforme. Inter-relações entre estes modos de convergência. Exemplos e contra-exemplos. Teorema de Egoroff (convergência em quase todo ponto garante convergência quase uniforme e em medida num espaço de medida finita).
Medida produto e espaços de medida produto. Teorema de Tonelli. Teorema de Fubini. Relação com integrais iteradas em espaços euclidianos.
Exemplos e resolução de exercícios.
Integral e funcional linear. Representação de funcional linear sobre espaços localmente compactos por integral sobre medida completa e finita em compactos: Teorema de Representação de Riesz.
Transporte de medidas. Medida transportada e forma geral do teorema de mudança de variáveis. Aplicações: medidas invariantes e o Teorema de Recorrência de Poincaré. Aplicações simples em teoria dos números.
Exemplos e resolução de exercícios.
Teorema Fundamental do Cálculo no caso da Integral de Riemman vesus a Integral de Lebesgue. Exemplos. A função de Cantor.
Teoria de Derivação de Lebesgue. Pontos de densidade. Derivação de medidas no espaço euclidiano.
A função Maximal de Hardy-Littlewood e o Teorema Maximal. Teorema de derivação de Lebegue.
Generalização do Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de Variação Limitada. Propriedades.
Funções absolutamente contínuas. Propriedades.
Teorema Fundamental do Cálculo para a Teoria de Integração de Lebesgue.
Exemplos e resolução de exercícios.
Segunda prova e entrega da lista de exercícios solicitados para avaliação.