Charlas 2014
"Sobre el problema de isomorfismo para álgebras (de Lie)".
Dr. Edisón Fernandez
9 de Diciembre
Resumen: ¿Qué relación hay entre el grupo G:=<a, b | a^3=b^9=e, bab=a> y el grupo Z_3 o ¿... entre las álgebras de Lie de dimensión 3 u1:={[e1,e2]=e3} y u2:={[e1,e2]=bv, [e1,e3]=cv, [e2,e3]=av, con v=ae1-ce2+be3}?
Ya sea como estudiantes o trabajando en algún tema, es seguro que en algún momento nos hemos topado con algún problema de clasificación. Los matemáticos (o la matemática) ha(n) encontrado varias formas para decirnos que, en toda la generalidad del problema, clasificar objetos matemáticos es un problema difícil (ej. Mumford's GIT, el trabajo de I.M Gelfand y V. A. Ponomarev en [1], etc.)
Independiente de la dificultad de los problemas de clasificación, es importante disponer de herramientas que nos permitan distinguir objetos no equivalentes.
En esta dirección, motivados por la teoría de identidades polinomiales sobre álgebras (P.I algebras) y la tesis de Jiřı Hrivnak [2-3], introducimos nuevos invariantes (enteros) de álgebras de Lie [4] y mostramos en la charla como tales invariantes permiten distinguir las álgebras de Lie de dimensión 3 y 4 [2-3], y como pueden ser usados en el estudio de las degeneraciones de álgebras de Lie [2]. Los resultados son fácilmente generalizables a álgebras de dimensión finita.
Referencias:
[1] I. M. Gelfand, V. A. Ponomarev: "Remarks on the classification of a pair of commuting linear transformations in a finite-dimensional space".
Functional Analysis and Its Applications, October–December, 1969, Volume 3, Issue 4, pp 325 –326.
[2] J. Hrivnák, P. Novotný: "Twisted cocycles of lie algebras and corresponding invariant functions".
Linear Algebra and its Applications, February 2009, Volume 430, Issue 4, Pages 1384–1403.
[3] P. Novotný, J. Hrivnák: "On (α,β,γ)-derivations of Lie algebras and corresponding invariant functions".
Journal of Geometry and Physics, February 2008,
Volume 58, Issue 2, Pages 208–217.
[4] E. A. Fernández-Culma:
"On the isomorphism problem for Lie algebras".
Preprint.
"Grafos Unitarios de Cayley".
Lic. Denis Videla
25 de Noviembre
Resumen: En esta charla se verán los grafos unitarios de Cayley. Dichos grafos tomaron relevancia al estar relacionados con el problema de representabilidad de grafos arbitrarios módulo n. Se hablará de sus propiedades estructurales principales y parámetros ya calculados de los mismos. Luego veremos de que manera se pueden generalizar a cualquier anillo conmutativo con unidad. Por ultimo, se contarán algunos problemas recientes de clasificación de anillos conmutativos con unidad.
"La geometría subriemanniana, el problema de Dido y el grupo de Heisenberg".
Dr. Mauro Subils
4 de Noviembre
Resumen: El problema isoperimétrico consiste en hallar la figura de mayor área con un perímetro dado. Una variante de este problema es el problema de Dido que consiste en: Dada una cuerda de longitud fija y una recta fija L, colocar los extremos de la cuerda en L y determinar la forma de la cuerda de manera que el área encerrada por la cuerda y la recta L sea lo mayor posible. En esta presentación reformularemos el problema de Dido (mas precisamente su dual) como un problema de geodésicas en el grupo de Heisenberg; que es el ejemplo más simple no trivial de variedad subriemanniana. Introduciremos algunos de los conceptos más importantes de la geometría subriemanniana. Finalmente, calcularemos explícitamente las geodésicas en el grupo de Heisenberg mostrando una manera alternativa de resolver el problema de Dido.
No se requieren conocimientos de geometría diferencial o Riemanniana.
"Representaciones irreducibles de peso máximo de n-Lie álgebras simples".
Lic. Karina Batistelli
21 de Octubre
Resumen: Las n-Lie álgebras surgen como una generalización de las álgebras de Lie, tomando el corchete entre n elementos del álgebra en lugar de dos. En 2004, Dzhumadil'daev describió todos los módulos irreducibles de peso máximo de n-Lie álgebras simples de dimension finita. En 2010, Balibanu y van de Leur lograron obtener una clasificación completa que incluye los de dimensión infinita. En esta charla estudiaremos la descripción dada por Balibanu y van de Leur, partiendo de las definiciones básicas de álgebras de Lie para ir obteniendo las generalizaciones que dan lugar a las n-Lie.
"Rigidez en álgebras de Lie".
Augusto Chaves
7 de Octubre
Resumen: El seminario será una continuación del realizado por la Lic. Sonia Vera en la sesión anterior. Introduciremos el concepto de Rigidez en álgebras de Lie, el cual está relacionado con el concepto de deformaciones de álgebras de Lie. El seminario constará de cuatro partes: en la primera se repasarán algunas definiciones básicas, segundo se introducirá una herramienta analítica que nos ayudará a comprender el tema, proseguiremos con la demostración del teorema central de la charla "si un álgebra de lie posee segunda co-homología igual a cero entonces esta es rígida" y finalmente, haremos algunos comentarios en conformidad con el tiempo.
"Introducción a las deformaciones y degeneraciones de las álgebras de Lie".
Sonia Vera
1 de Octubre
Resumen: El conjunto de las álgebras de Lie sobre un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo K es un subconjunto algebraico, denotado L^n, de la variedad afín Hom(VxV), que consiste en en mapeos bilineales alternantes que satisfacen la identidad de Jacobi. La clase de isomorfismos de un elemento u de L^n es la órbita O(u) en L^n mediante la acción natural del grupo GL(n,V). Con el principal interés de analizar estos espacios de órbitas se estudian los fenómenos de deformaciones y degeneraciones.
"Un enfoque matemático a un problema en las remiserías".
Rocío Díaz, Iván Medri y Gabriel Moyano.
9 de Septiembre
Resumen: En esta charla queremos contar como es que se puede hacer frente a un problema (en principio) sencillo con la ayuda de la matemática. El problema que se busca resolver es el de distribuir las guardias nocturnas de una remiseria de Neuquén. Allá durante las noches no hay muchos viajes salvo los fines de semana, por lo que los remiseros son un poco reacios a hacerlas. Este problema tiene distintas restricciones para que todos queden conformes (es decir, satisfaga restricciones de la empresa, del sindicato y de algunos empleados). Para esto comentaremos 2 enfoques que desarrollamos, uno usando solo álgebra elemental y otro con un enfoque de optimización. Finalmente comentaremos algunas las conclusiones.
"La conjetura de Poincaré".
Ramiro Lafuente
26 de Agosto
Resumen: En un artículo de 1904, el matemático frances Henri Poincaré conjeturó que "toda 3-variedad cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera". El problema, que luego llevaría su nombre, fue uno de los problemas abiertos mas importantes de la matemática durante el siglo pasado (es, de hecho, uno de los "7 problemas del Milenio" segun el Clay Mathematical Institute).
En esta charla trataremos de explicar, en términos muy accesibles y sin asumir ningún conocimiento previo en geometría, de que se trata el problema, mostrando para eso numerosos ejemplos. Luego, si el tiempo lo permite, discutiremos las ideas principales detras de la reciente prueba de la conjetura en 2002-2003 por Grigori Perelman.
"Nociones de análisis no diferenciable".
Damián Fernández
19 de Agosto
Resumen: Los métodos de suavizado no son tan eficientes para resolver problemas de optimización continua. A las funciones no diferenciables hay que atacarlas con análisis. Mostraré como la noción de subdiferencial de funciones convexas (década del 70) se extendió a funciones localmente Lipschitz continuas (década del 80) y luego a funciones semicontinuas inferiormente (década del 90). Finalizaré mostrando que la coderivada de una multifunción es es la extensión natural da la noción del subdiferencial.
"Introducción al concepto de Carcaj y aplicaciones".
Ivan Dario Gómez
10 de Junio
Resumen: En este seminario se introducirán las nociones de Carcaj o quiver (grafo dirigido), y como se construiría un álgebra a través de un Carcaj llamada el álgebra de caminos con algunas de sus propiedades.
Además, veremos que relación que tiene el álgebra de caminos con otras álgebras (teorema de Gabriel). También, dado un Carcaj definiremos la noción de representación sobre el Carcaj y la relación que hay entre estas representaciones y los módulos sobre el álgebra de caminos.
"Introducción a los Grupos Algebraicos".
Javier A. Gutiérrez.
27 de Mayo
Resumen: Se expondrá la definición de grupo algebraico como funtor representable, mostrando ejemplos conocidos. Además se darán las ideas y conocimientos necesarios para establecer una biyección de estos con Álgebras de Hopf conmutativas. Si el tiempo alcanza se comentarán ideas generales sobre como esta manera de ver los grupos algebraicos permite acercarse a los grupos cuánticos y esquemas afines.
"El problema inverso de la teoría de Galois".
Sergio Beltrán
13 de Mayo
Resumen: La charla consistirá en una presentación del problema inverso clásico de la teoría de Galois junto con algunas preguntas relacionadas. No entraremos en detalles técnicos de manera que reducimos al mínimo los prerrequisitos para comprender la idea general.
"Enteros p-ádicos y series de Poincaré. Parte II"
Diego A. Sulca
6 de Mayo
Resumen: En esta segunda parte se dará una nueva definición de los enteros p-ádicos muy distinta a la anterior y se probará equivalencias de las definiciones. Se terminará introduciendo algunos elementos de la integración p-ádica. Salvo la demostración de la equivalencia, el resto es completamente independiente de la primera charla.
"Enteros p-ádicos y series de Poincaré. Parte I"
Diego A. Sulca
29 de Abril
Resumen: Esta primera parte va a ser un minicurso sobre los enteros p-ádicos. Se va a presentar tres definiciones de los mismos y mostraremos las equivalencias entre ellas. Luego de establecer propiedades básicas y mostrar resultados como por ejemplo el Lema de Hensel, se va a introducir el concepto de integral p-ádica y terminaremos calculando algunas integrales elementales. Son sólo necesarios conocimientos básicos de topología, grupos abelianos y anillos.