Charlas 2019
"El icosaedro y las ecuaciones de grado cinco"
Emiliano Segura
26 de Marzo
Resumen: Luego de los resultados de Abel y Galois sobre la imposibilidad de resolver la ecuación general de grado cinco mediante radicales, varios matemáticos se ocuparon de hallar otros métodos para su resolución.
En la charla esbozaremos cómo Felix Klein, haciendo interactuar profundamente el álgebra, la geometría y el análisis, ofreció uno de tales métodos empleando las simetrías rotacionales del icosaedro y la teoría de funciones analíticas.
"Algunas propiedades de polinomios ortogonales matriciales"
Lic. Lucía Morey
9 de Abril
Resumen: Los polinomios ortogonales matriciales fueron introducidos por Krein alrededor de1940 y se han estudiando en relación a diferentes contextos. En este seminario nos concentraremos en el caso de polinomios ortogonales matriciales asociados a un peso con soporte N_0, describiremos algunas propiedades que pueden derivarse de una ecuación de tipo Pearson matricial discreta y finalmente daremos un ejemplo de una familia de polinomios matriciales tipo Charlier.
"Una aplicación a los autómatas celulares"
Lic. Gonzalo Gutiérrez
22 de Abril
Resumen: Los autómatas celulares fueron introducidos a principio de 1950 por John von Neumann y junto a su colega Stanislaw Ulam, implementó la teoría de los autómatas celulares en su libro Theory of Self-reproducing Automata.
Posteriormente, otros matemáticos comenzaron a estudiar los autómatas celulares formalizando su definición y permitiendo una clasificación en base a propiedades intrísecas que estos poseen. A fines de los años 60 el matemático G. A. Hedlund escribió en unos de sus trabajos una definición formal de los autómatas celulares en términos de la dinámica simbólica y en el año 1970, John Horton Conway dió a conocer un autómata celular bidimensional conocido en la actualidad como juego de la vida.
Wolfram dió una primera clasificación para los autómatas celulares en cuatro clases diferentes, basandose en el comportamiento de los mismos sobre configuraciones finitas:
Clase 1 o comportamiento fijo. Aquellos donde todas las configuraciones iniciales convergen a una misma configuración final.
Clase 2 o comportamiento periódico. Aquellas donde todas las configuraciones iniciales convergen a un ciclo periódico de configuraciones.
Clase 3 o comportamiento caótico. Son todos los Autómatas Celulares cuyo comportamiento en cualquier configuracion se vuelve caótica
Clase 4 o comportamiento complejo. Algunas configuraciones iniciales convergen a estructuras complejas.
La equicontinuidad, semi-equicontinuidad y sensitividad son propiedades que poseen algunos autómatas celulares, permitiendo predecir el análisis de su comportamiento cuando los mismos evolucionan. Gilman introduce una clasificación de los autómatas celulares unidimensionales basados en conceptos de la equicontinuidad y Hurley permitió dar una clasificación de los autómatas celulares en función de sus atractores y cuasi-atractores. Finalmente, Kůrka realiza un refinamiento a la clasificación propuesta por Hurley dependiendo de las propiedades topológicas y de propiedades del lenguaje que define el autómata celular.
Brevemente, los Autómatas Celulares (AC) son sistemas dinámicos donde el espacio y tiempo de trabajo son discretos y que permiten simular el comportamiento de diversos sistemas evolutivos de distintas complejidades. Los elementos que componen el espacio de un autómata celular consiste de arreglos de células que cambian de estados a medida que transcurre el tiempo, y donde cada célula puede tomar un número finito de posibles estados. La teoría de los AC está basada en un conjunto de reglas preestablecidas que se aplican a un grupo de células, denominada regla local y que indica los cambios de estados de cada célula a partir de un número finito de células vecinas denominada vecindad (o entorno).
En el presente trabajo se desarrollará un estudio breve acerca de los autómatas celulares unidimensionales y bidimensionales, es decir, aquellos donde el espacio de trabajo es un espacio producto de un alfabeto finito sobre Z o sobre Z x Z al que se denomina Full Shift, ofreciendo así una introducción a la dinámica multidimensional y mostrando extención de algunos resultados de gran importancia que son válidos en la dinámica unidimensional.
Hoy en día, la avanzada modelación matemática y el hardware moderno actual permiten aplicar los autómatas celulares a diversas areas, tales como el tratamiento digital de imágenes, redes neuronales, criptografía, bioinformatica, entre otras. Especificamente en este trabajo pretendo mostrar el modelado y aplicación de los autómatas celulares al tratamiento digital de imágenes.
Hacemos uso de las propiedades que se definieron anteriormente y analizamos las reglas locales definidas para algunos autómatas celulares. Se tomaron como referencia los trabajos [Dorka, Durand, NepRom1, NepRom3] para el estudio de las propiedades dinámicas de los AC y para el estudio de la equicontinuidad y semi-equicontinuidad en dimensiones superiores el trabajo desarrollado por Emily Gamber, en [Emily].
Referencias:
[Dorka06] Dorka Chaves. Atractores de Transformaciones que Preservan Potencias del Shift . Trabajo de Grado. Maestría en Ciencias Mención Matemáticas. Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado, 2006.
[DurEnrVar03] Bruno Durand, Enriko Formenti, Georges Varauchas. On undecidability of equicontinuity classification for cellular automata . Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2003.
[Emily06] Emily Gamber. A Topological Classi cation of D-Dimensional Cellular Automata. Champel Hill 2006.
[Kur03] Petr K·rka. Topological and Symbolic Dynamics . Cours Spécialisés, collection SMF (2003).
[Nep06] Romero Neptalí. Notas de Autómatas Celulares del trigésimo aniversario de Posgrado de Matemáticas. Universidad Central de Venezuela. Octubre 2006.
[NepRov06] Romero Neptalí, A. Rovella, F. Vilamajó. Remark on Cellular automata and shift preserving maps . Applied Mathematics Letters 19 (2006) 576-580. ElSEVIER.
"Teoría de nudos: técnicas combinatorias, geométricas y algebraicas"
Gerson Gutiérrez
7 de Mayo
Resumen: Uno de los objetivos principales de la teoría de nudos es el de clasificar los nudos, donde un nudo es un embedding del círculo S¹ en el espacio euclídeo R³ . En 1885 Tait dio una primera lista de nudos distintos, basada en una prueba empírica. En el siglo pasado la teoría se desarrollo enormemente, encontrandose invariantes usando técnicas de diversas áreas de la matemática. En esta charla veremos algunas de estas técnicas para distinguir nudos, técnicas combinatorias como el coloreo y el polinomio de Alexander, técnicas geométricas como el género de un nudo y técnicas algebraicas como el grupo asociado a un nudo.
"Grupos abelianos finitos a partir de grupos de holonomía de solvariedades planas"
Lic. Alejandro Tolcachier
21 de Mayo
Resumen: Las solvariedades son variedades compactas de la forma Γ\G donde G es un grupo de Lie soluble simplemente conexo y Γ es un subgrupo discreto, de manera que una métrica riemanniana invariante a izquierda plana en G induce una métrica plana en Γ\G. Por otro lado, toda variedad compacta plana es isométrica a un cociente de la forma R^n/Γ donde Γ es un subgrupo discreto de isometrías de R^n, el cual es llamado “grupo de Bieberbach”. Un resultado sorprendente de Auslander y Kuranishi (1973) dice que todo grupo finito es el grupo de holonomía de una variedad compacta plana. En el caso de un grupo abeliano finito, hemos logrado probar que se lo puede obtener como el grupo de holonomía de una solvariedad plana. El objetivo de esta charla es contar la prueba de este resultado. Para ello, mencionaré los clásicos teoremas de Bieberbach (1910-1912), que caracterizan los grupos de Bieberbach, y un resultado de Milnor (1976) acerca de los grupos de Lie que admiten una métrica invariante a izquierda plana. Esto permitirá, por un lado, probar que el grupo de holonomía de una solvariedad plana es finito y abeliano. Por otro lado, utilizando un criterio dado por Christoph Bock (2009) para determinar la existencia de retículos en grupos de Lie casi abelianos, construiremos de manera explícita, dado un grupo abeliano finito A, una solvariedad plana con grupo de holonomía A.
"Teoría de representaciones del grupo simétrico y dualidad de Schur"
Lic. Benjamín Marcolongo
4 de Junio
Resumen: En el seminario abordaré y presentaré las herramientas básicas de la teoría de representaciones del gurpo simétrico S_n (representaciones irreducibles, tablas de young, dimensiones de las irrep, etc) para conectarlas con las del grupo SU(2) a través de la dualidad de Schur.
La dualidad de Schur es una potente herramienta de la teoría de representaciones de grupos de lie compactos que permite, con relativa simpleza, tratar el problema de la descomposición en irreducibles del grupo de rotaciones. Pues la multiplicidad de las irrep de SU(2) en dicha descomposición se obtienen de calcular la dimensión de la irrep. de S_n (parametrizada por un diagrama de young) asociada en la descomposición en irreducibles del producto catesiano de ambos grupos S_n X SU(2).
El interés para un físico en tratar este problema es realizar la descomposición en irrep. sobre un espacio de operadores de un espacio de Hilbert, sobre el cual se monta o interpreta una formulación de la mecánica cuántica. Estudiar las representacones del grupo de rotaciones es de altísimo interés por estar éste relacionado con la teoría del momento angular o la dinámica del spín de una o varias partículas.
El seminario está orientado a alumnos avanzados de la carrera de matemática por lo que no se tratarán temas de física, a pesar de estar motivados por mi Trabajo Especial de Licenciatura en Física.
"Invariantes elementales en Combinatoria. Aprendiendo a colorear y a contar a los 25 años"
Lic. Luis Ferroni
18 de Junio
Resumen: Es común en matemática encontrar similitudes entre objetos que parecen provenir de teorías que a priori no se parecen. En este espíritu, vamos a definir el concepto de matroide, un objeto combinatorio que generaliza la noción de dependencia lineal en un espacio vectorial y al mismo tiempo la de ciclos de un grafo finito.
Uno de los objetivos será construir un invariante conocido como "Polinomio de Tutte" de un matroide (que bien se puede obtener en el caso particular de un grafo) y ver que codifica información tan valiosa como el "Polinomio cromático" o el número de árboles generadores del mismo.
En el transcurso surgirán naturalmente los reticulados, los grafos planares, los arreglos de hiperplanos, algo de topología, y mucho, mucho más!
Y vamos a plantear un par de preguntas que parecen ser inocentes (que obviamente no vamos a responder), pero cuyas respuestas y cuyo estudio aparentan estar ligados al estudio específico de geometría algebraica, cohomología y combinatoria enumerativa.
"Bases de Gröbner. Una generalización a la eliminación Gaussiana y el algoritmo de la división."
Lic. Emiliano Campagnolo
27 de Agosto
Resumen: Las bases de Grobner aparecen como herramientas en diversas áreas de la matemática como la Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa y Álgebra Computacional. Los algoritmos conocidos para encontrar bases de Gröbner en general tienen alta complejidad computacional y es un objeto de estudio tratar de optimizarlos.
En esta charla introduciremos el concepto de base de Gröbner y algunas aplicaciones a la Geometría Algebraica. Veremos que se puede ver como una generalización a la eliminación Gaussiana y del algoritmo de la división para polinomios en una sola variable. Por último veremos los teoremas relacionados a los algoritmos clásicos para obtener bases de Gröbner y como usarlas para ver si un polinomio pertenece a un ideal o bien a su radical.
"Combinatoria: Teoría de Ramsey y grafos aleatorios".
Lic. Azul Lihuen Fatalini
3 de Septiembre
Resumen: A la palabra combinatoria muchas veces la relacionamos con problemas de conteo. Por ejemplo, ¿de cuántas maneras distintas se pueden reordenar las letras de la palabra MATEMÁTICA?
La idea de esta charla es, en el contexto de grafos, hablar de otro tipo de problemas combinatorios.
- Problemas extremales, por ejemplo, ¿cuántas personas tiene que haber en una fiesta para asegurar que haya 5 personas o bien todas conocidas entre sí o bien todas desconocidas entre sí?
- Problemas probabilísticos, como ¿cuál es la probabilidad de que un grafo sea conexo?
Todo esto y más en el próximo capítulo del Seminario de Alumnos.
Requisitos: Álgebra I
"Una introducción a las curvas elípticas".
Lic. Lucas Villagra Torcomian
17 de Septiembre
Resumen: Un número natural se dice que es congruente si es el área de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes racionales.
¿Qué tienen en común el problema de determinar todos los números congruentes con el Último Teorema de Fermat?
En esta charla se intentará definir naturalmente las curvas elípticas, recalcar algunas de sus propiedades y motivar su estudio tratando de responder la pregunta antes mencionada.
Requisitos: Definición de grupo.
"Breve panorama de la situación de las Matemáticas en España: Formación, Investigación y Empleabilidad".
María Victoria Otero Espinar
1 de Octubre
Resumen: La profesión de matemático ha sufrido un gran cambio en las últimas décadas. En la actualidad los matemáticos están presentes en muchos ámbitos, siendo uno de los profesionales con menos paro en España. ¿Cómo se están afrontando estos cambios?. Trataremos de mostrar cómo es la planificación, la formación de estos profesionales y las estructuras que permiten, entre otras cosas, mostrar a las empresas e instituciones las ventajas que aporta la incorporación de matemáticos en ellas.
"Introducción a la teoría de pesos"
Lic. Gonzalo Ibañez Firnkorn
2 de Noviembre
Resumen: En esta charla definiremos la noción de pesos en el análisis armónico real y su importancia en la acotación de operadores en los espacios L^p pesados, L^p(w).
Para esto definiremos algunos operadores clásicos como la máximal de Hardy-Littlewood, así como sus pesos asociados, los pesos de Muckenhoupt. Luego, mencionaremos algunas técnicas y desigualdades importantes en el área: las desigualdades de Fefferman-Stein y Coifman- Fefferman, el algoritmo de Rubio de Francia y la técnica de extrapolación.
"Los espacios de Lebesgue variables".
Lic. Lucas Vallejos
19 de Noviembre
Resumen: En esta charla presentaremos los espacios L^{p(.)} (\Omega ) donde p(.) : \Omega \subseteq R^n ------> [1,\infty] es una función medible Lebesgue. Describiremos la topología de dichos espacios definiendo la norma adecuada que hace que sean espacios de Banach. Mostraremos algunas propiedades en relación a las funciones exponentes. Además mostraremos el comportamiento de algunos operadores, muy estudiados en el análisis armónico, como lo es el caso del operador Maximal de Hardy Littlewood, en este contexto. Veremos una conexión con los L^p (\omega) donde \omega es un peso. Vía el teorema de extrapolación para estos espacios obtendremos algunas acotaciones de algunos operadores entre estos espacios.