Charlas 2013
"Derivaciones generalizadas de álgebras de Lie."
Lic. Joan Felipe Herrera Granada
Martes 10 de Diciembre de 2013
Dada un álgebra compleja se generalizará el concepto de derivación y a partir de esta
generalización se introducirán nuevos invariantes de álgebras, ́los cuales nos ayudarán a decidir
si dos álgebras son no isomorfas. En partiular, si nos centramos en el caso de álgebras de Lie,
veremos varios ejemplos en los que conociendo algunos invariantes del álgebra (serie derivada,
serie central descendente y serie central ascendente), no se tiene la suficiente información para
decidir si dos álgebras son no isomorfas, pero si con los nuevos invariantes.
Referencias:
[NH] Novotny, P. and Hrivnák, J., On (α, β, γ)-derivations of Lie algebras and corresponding invariants
functions, J. Geom. Phys. 58 ( 2008 ), 208–217.
"De los códigos algebraicos a los códigos geométricos"
Dr. Ricardo Podestá
Martes 19 de Noviembre
En esta charla hablaremos sobre códigos autocorrectores de errores sobre cuerpos finitos. La teoría de los códigos correctores de errores se inicia en el año 1948 con 2 trabajos fundacionales de Shannon sobre teoría de la información. Los códigos clásicos son los llamados códigos lineales, y para su definición y estudio se utliza solamente álgebra lineal.
A partir de los años '80, se produjo una revolución en la teoría cuando Goppa introdujo códigos geométricos, es decir, obtenidos a partir de evaluar funciones racionales de curvas algebraicas en puntos racionales. Estos códigos geométricos mostraron ser asintóticamente mejores que cualquier código clásico conocido, en el sentido que existen familias de códigos de Goppa que superan la famosa cota de Gilbert-Varshamov, la cual no es superada por ningún código lineal clásico conocido.
El objetivo de la charla es mostrar que a partir de los códigos lineales primero, y pasando por algunas familias de códigos cíclicos y alternantes, es natural llegar a la idea de los códigos geométricos.
Se intentará hacer la charla lo mas autocontenida posible y se invita especialmente a alumnos de licenciatura a asistir. La charla tendrá una duración de 90 minutos.
''Álgebras, coálgebras, biálgebras y álgebras de Hopf en categorías trenzadas (y unos diagramas interesantes)''
Lic. Eugenia Bernaschini
Martes 5 de Noviembre
El plan para este seminario es presentar las álgebras, coálgebras, biálgebras y algebras de Hopf en categorías trenzadas de una manera diagramática; y hacer pequeñas pruebas utilizando exclusivamenete diagramas y sus reglas de deformación.
''Estructuras localmente conforme kähler en grupos de Lie''
Lic. Marcos Origlia
Martes 22 de Octubre
Las variedades l.c.K. son un objeto de estudio muy importante dentro de varias ramas de la matemática, como por ejemplo la geometría compleja y la geometría simpléctica.
En esta charla vamos a introducir los conceptos necesarios involucrados en la definición de estructura l.c.K. así también como algunos ejemplos.
Nos concentraremos principalmente en estructuras l.c.K. invariantes a izquierda sobre grupos de Lie.
"Teorema de convexidad de Riesz-Thorin"
Lic. Guillermo Flores
Martes 1 de Octubre
Frecuentemente ciertos operadores de distinta clase son estudiados y es importante conocer si son acotados o no desde un espacio de medida en otro. Muchas veces, estos operadores, tienen una expresión analítica que toma sentido para un determinado conjunto o tipo de funciones "fácilmente manejables", pero carece de sentido cuando queremos extender el dominio del operador a un espacio más general o a otro espacio de funciones. La interpretación de los teoremas de interpolación o convexidad, puede brindar alguna información para la solución de este tipo de de problemas. A lo largo de esta exposición, aplicaremos estos resultados a operadores destacados como lo son el de Fourier y los de convolución. Y terminaremos repasando la "Desigualdad generalizada de Young".
"Describiendo Objetos Iguales (o no tanto) en Lógica"
Raul Fervari
Martes 10 de Septiembre
En esta charla, se discutirá el problema de decidir cuando dos objetos son iguales. Intuitivamente, no tenemos problemas para responder esta pregunta, pero a la hora de formalizar esta noción, podemos tener problemas. En muchas oportunidades, la respuesta es ''depende''. Voy a mostrar de qué realmente depende la noción de igualdad,
y presentaré herramientas lógicas para formalizar esta idea.
Se utilizarán nociones básicas de lógica, pero la charla será autocontenida y no se requerirán conocimientos previos.
"Una Introducción a los Operadores Diferenciales sobre Anillos"
Fredy Restrepo
Martes 20 de Agosto
Es de conocimiento general para los estudiantes de licenciatura y profesorado, que con las herramientas axiomáticas del Análisis y posteriormente, con las de la geometría diferencial, se puede definir naturalmente los operadores diferenciales. Ahora bien, en este seminario queremos ver como se las arregla el álgebra para definir los operadores diferenciales, empleando solamente una estructura de anillo. Para tal fin, ejemplificaremos con el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo $K[x]$ (para el caso conmutativo) y, con el anillo de polinomios sobre el álgebra de matrices $M_n(K)[x]$ (para el caso no conmutativo). Expondremos los axiomas para definir las derivaciones y posteriormente los operadores diferenciales sobre $K[x]$. Luego, discutiremos los pormenores que se presentan al implementar dichos axiomas en $M_n(K)[x]$, motivando así, una reformulación de dichos axiomas que nos permitan trabajar en ambos contextos.
"Orbitas nilpotentes, la descripcion reciente de Lusztig
y su relación con la forma de Jordan."
Dr. Jorge Vargas
Martes 20 de Agosto
"Clasificación de órbitas nilpotentes de álgebras de Lie semisimples
complejas."
Lic. Lorena Valencia
Martes 13 de Agosto
El grupo general lineal GLn(C) actúa sobre su álgebra de Lie gln(C) por conjugación, y las órbitas no son más que las clases de similaridad de matrices. La teoría de Jordan da una parametrización de estas en dos clases: Las matrices diagonales (semisimples) y las que son representadas por matrices triangulares estrictas (nilpotentes). Estas últimas est.an parametrizadas por particiones de n.
En contraste, si g es un álgebra de Lie semisimple compleja y Gad es su grupo de Lie adjunto, las órbitas nilpotentes de la acción adjunta de Gad sobre g, están clasificadas mediante diagramas de Dynkin con pesos. En el caso en que g es un álgebra de Lie simple compleja clásica, vemos que esta clasificacion se corresponde con la clasificación de particiones de n de gln(C).
"Un teorema de dualidad para álgebras de Hopf débiles".
Dra. Virginia Rodrigues
18 de Junio
Las álgebras de Hopf débiles surgieron en la literatura como una generalización de las álgebras de Hopf clásicas: no se necesita que la comultiplicación preserve la unidad, que es lo mismo que decir que la counidad no es más multiplicativa. En 1985, R. J. Blattner y S. Montgomery probaron que si $H$ es un álgebra de Hopf con dimensión $n$ entonces $(A \# H) \# H^*$ y $M_n(A)$ ($A$ es un $H$-módulo álgebra) son álgebras isomorfas. Este resultado puede ser extendido para el contexto de álgebras de Hopf débiles (debido a D. Nikshych).
En esta charla, el principal objetivo es dar una idea de la prueba del resultado anterior en el contexto débil, o sea, considerando ahora $H$ un álgebra de Hopf débil, entonces $(A \# H) \# H^*$ y $End_k(A \# H)_A$ son álgebras isomorfas, donde $(A \# H) \# H^* = (A \otimes_{H_t} H) \otimes_{H^*_t} H^*$ como $k$-espacios vetoriales.
"Una introducción a la teoría de Cardinales."
Lic. Edwin Pacheco
11 de Junio
Daremos una pequeña introducción a la teoría de cardinales. Veremos algunas propiedades elementales, algunas construcciones combinatorias y hablaremos un poco de la llamada "Hipótesis del Continuo de Cantor".
"Funciones zeta en álgebra"
Lic. Diego Sulca
4 de Junio
Las funciones zeta han demostrado ser objetos muy importantes en muchas ramas de la matemática. Ellas no sólo han servido para resolver problemas enumerativos en áreas como el álgebra, la topología y la teoría de números, sino que también han servido como objetos disparadores de una gran cantidad de matemática.
En esta charla haremos un breve paseo por algunas de las funciones zetas más importantes. Empezaremos hablando de la función zeta de Riemann y de como ésta ha mostrado tener una relación muy estrecha con la distribución de los números primos. Usaremos las series L-de DIrichlet y la función zeta de Dedekind como puente para finalmente arribar a la función zeta de Weil de una variedad proyectiva. Hablaremos de las conjeturas de Weil y de cómo éstas llevaron a la necesidad de crear nuevas teorías de cohomologías para variedades algebraicas que culminaron con la creación de la cohomología étale por Grothendieck, la cual fue exitosamente usada por Deligne para dar prueba final a dichas conjeturas.
"MATRICES ALEATORIAS"
Lic. Adrien Sauvaget
28 de Mayo
El objetivo de la presentación es dar las principales motivaciones historicas que han permitido el desarollo del estudio de las matrices aleatorias. Introducidas por analistas, fueron después un objeto de estudio de los físicos fundamentales que mostraron que tenían una gran riqueza algebraica.
Vamos a introducir los primeros resultados de repartición de las autovalores, y vamos a dar una presentación de los diferentes campos de aplicación tanto en fisica fundamental como en teoria de números.
"Método variacional con operadores de simetría y positividad generalizada"
Lic. Augusto Chaves
21 de Mayo
Se hará un ameno recorrido alrededor de algunos problemas y principios del cálculo variacional en la historia, la ecuación de Euler y una presentación de un método variacional de ecuaciones con operadores de simetría y positividad generalizadas.
"Sustentabilidad de Protocolos de Quimioterapia. "
Lic. Matias Hernández
14 de Mayo
Las terapias tradicionales contra el cáncer están destinadas a eliminar la mayor cantidad de células malignas. Ocurre que generalmente existen dos (posiblemente más) subpoblaciones de células cancerígenas: una subpoblación es sensible a la terapia, y es mayoría; la otra es resistente, y es minoría. Entonces lo que sucede es que las terapias tradicionales en realidad eliminan las células sensibles dejando un tumor constituido de células resistentes que podrán crecer sin ninguna terapia efectiva para combatirlas. Por este motivo en la actualidad el cáncer comienza a verse no necesariamente como una enfermedad que debe ser curada erradicando las células cancerosas sino como una enfermedad crónica con la cual el paciente pueda vivir. Para que el anterior cambio de paradigma sea alcanzable es necesario mantener el tumor dentro de un cierto umbral a lo largo del tiempo.
Nosotros aplicamos la teoría de la viabilidad para estudiar la sustentabilidad de protocolos de quimioterapia, en el sentido anterior, presentando los principales resultados numéricos.
"Holonomía normal y sistemas de holonomía."
Lic. Richar Riaño
7 de Mayo de 2013
Los Sistemas de holonomía introducidos por J. Simons son una herramienta algebraica muy útil que sirvió para probar teoremas de gran importancia en geometría tales como el Teorema de Berger, probado por Simons sin usar resultados de clasificación; otro importante resultado obtenido con esta herramienta es el teorema de holonomía normal que es la versión para subvariedades conexas de espacios de formas estándar, del teorema algebraico de de Rham-Berger.
El fin de esta charla es mostrar conceptos básicos de geometría de subvariedades y de holonomía normal para luego introducir los sistemas de holonomía, algunos teoremas claves y aplicaciones del mismo, que como motivación tienen un resultado como posible aplicación a la conjetura encontrada que cita que una subvariedad full, homogénea e irreducible de una esfera, diferente de una curva, tal que el grupo de holonomía normal es no transitivo, debe ser órbita de una s-representación (en otras palabras, una órbita de la representación isotrópica de un espacio simétrico simplemente conexo y semisimple), que es una posible extensión del teorema del rango rígido para subvariedades.
"Integrales y Geometría Algebraica II: del Teorema de Abel a la Conjetura de Hodge."
Dr. Aroldo Kaplan
30 de Abril
"Preguntas obvias que originaron un montón de matemática."
Dr. Jorge Vargas
23 de Abril
"Introducción a los Modelos de Dinámica de Poblaciones".
Lic. Gabriel Moyano
16 de Abril
Actualmente, en algunos campos de la Ciencia los esfuerzos van dirigidos, dentro de ciertas limitaciones, a conocer el desarrollo de algunos fenómenos reales. En este camino se estudia el comportamiento, sus consecuencias y fines, según los parámetros que intervienen sin necesidad de que se produzcan dichos fenómenos. Esto lleva a reemplazar dicho fenómeno real por otro simulado, más simple, mediante estructuras matemáticas. Estos son llamados Modelos Matemáticos. La dinámica de poblaciones es uno de los temas de mayor importancia para entender el desarrollo temporal y espacial de los grupos de organismos en distintos ambientes. En términos prácticos, interesa para el manejo de plagas agrícolas, para comprender la epidemiología de numerosas enfermedades, para estimar densidades pesqueras, para manejar poblaciones silvestres, etc. En esta charla se intentara dar algunos conceptos básicos sobre los dinámica de poblaciones simples, comenzando con ejemplos y origen de algunos de modelos simples de sistemas de una sola especie para terminar con el análisis de sistemas de dos especies presa-predador.