Charlas 2016

"Geometría hiperbólica"   

Lic. Angel Villanueva

Martes 8 de Marzo - Aula 27

El objetivo de esta charla es presentar un modelo de geometría hiperbólica: daremos una métrica al semiplano superior de Poincaré y estudiaremos las geodésicas y el área de las regiones en el mismo.

Día de la mujer

Bajo la consigna "qué es la matemática para ustedes, qué representa en sus vidas", muchas de nuestras profes respondieron:

Agradecemos a María de los Milagros Langhi y 

María Eugenia Bernaschini por su hermoso trabajo. 

 "Modelo de epidemia de dengue con información a gran escala"

Dr. Gabriel Moyano

Martes 19 de Abril - Aula 27

El objetivo de este trabajo es el de presentar un modelo matemático mediante un modelo de EDP para la propagación espacio temporal de una epidemia de dengue en grandes áreas heterogéneas.

La dinámica de la epidemia se presentará como un modelo clásico por compartimientos para las poblaciones de los vectores y para los huéspedes donde la dinámica de las poblaciones de insectos es derivada de una ecuación de reacción-difusión con parámetros no homogéneos basados en imágenes a gran escala del entorno, para lo cual se utilizará un algoritmo para clasificar en distintas categorías los tipos de suelos, además de que el modelo presentado toma en cuenta información meteorológica complementaria y datos de las poblaciones de los huéspedes que puedan influir sobre la propagación de los mosquitos.

Finalmente se mostrarán los resultados obtenidos mediante una discretización de la ecuación planteada en el modelo en una simulación sobre un terreno artificial.

"Problema de unicidad para series trigonométricas"

Dr. Guillermo Flores

Martes 3 de Mayo - Aula 27

Riemann fue el primer matemático en estudiar la estructura de las funciones que admiten una expansión en series trigonométricas. Uno de los problemas que surgió fue la unicidad para tal expansión y G. Cantor fue quien obtuvo los primeros resultados. Usando este problema como motivación,  Cantor introdujo los conceptos fundamentales de inducción transfinita y números ordinales, así como también la creación de teoría de conjuntos. En esta charla, se tratará de entender el  problema de unicidad para expansiones en series trigonométricas y mencionar alguno de los resultados principales conocidos.

¡ESTAMOS CUMPLIENDO 10 AÑOS!

El "Seminario de Alumnos" comenzó el 4 de mayo de 2006 a cargo de Gastón García, César Galindo y Pablo Rocha, con el primer expositor Marcos Gaudino. Siguió adelante estos últimos años con diferentes expositores y encargados. Recordamos a quienes  fueron responsables desde el comienzo hasta el presente:

2006: Gastón García, Pablo Rocha, César Galindo.

2007: Nadina Rojas.

2008: Emilio Lauret.

2009: Verónica Díaz, Alfredo González.

2010: Julia Plavnik, Romina Arroyo, Vanesa Meinardi.

2011: Ramiro Lafuente.

2012: Matías Moya, Diego Sulca.

2013: Eugenia Bernaschini, Marcos Origlia.

2014: Sonia Vera, Javier Gutiérrez.

2015: Karina Batistelli, Ángel Villanueva, Denis Videla.

2016: Rocío Díaz, Cecilia Herrera, María de los Ángeles Martínez.

Los expositores han sido principalmente alumnos del Doctorado en Matemática de la FaMAF, aunque muchos profesores  de esta institución también han participado ya sea dando charlas o incentivando a los alumnos para que este Seminario siga adelante.

Esperamos que continúe y para ello apelamos a la buena voluntad de todos los estudiantes y profesores de esta institución.

El Seminario de Alumnos ha recibido su primer REGALO en honor a los 10 años que está cumpliendo.

¡¡Gracias Emilio Lauret por compilar un archivo con TODAS las charlas dadas en este seminario desde 2006!!

listado-completo.pdf

"Sobre simetrías ocultas en Relatividad General y agujeros negros"

Lic. Bernardo Araneda

Martes 17 de Mayo - Aula 27

Luego de repasar brevemente ciertas nociones de Relatividad General en el contexto del problema de estabilidad de agujeros negros, introduciremos el concepto de simetrías "ocultas" como una posible generalización de las simetrías usuales del espaciotiempo. Comentaremos acerca de su utilidad en ciertas ecuaciones de campo, y veremos en detalle la aplicación a la integrabilidad de geodésicas. Si hay tiempo, se verán como ejemplos las métricas de Schwarzschild y Kerr.

"Una pequeña introducción a las categorías tensoriales"

Dr. Edwin Pacheco Rodriguez

Martes 31 de Mayo - Aula 27

La teoría de categorías tensoriales es una teoría relativamente nueva de la matemática que generaliza la teoría de representaciones de grupos. Tiene diversas conexiones con otras áreas como teoría de representaciones, álgebras de Hopf, mecánica cuántica, computación cuántica, topología de bajas dimensiones, entre otras.

En esta charla veremos partiendo casi desde cero las definiciones y construcciones básicas y si el tiempo lo permite, algunas aplicaciones.

"El arte de resolver problemas de matemática"

Azul Lihuen Fatalini

Martes 14 de Junio - Aula 27

Destacamos en esta charla la actividad de resolución de problemas como una (¿una? o ¿la?) forma de actividad matemática. Para esto, se contará una estrategia muy difundida para resolver cierto tipo de problemas acompañada de varios ejemplos importantes, incluyendo un problema de la CIMA (Competencia Interuniversitaria Matemática Argentina) de este año.  El objetivo es dar a conocer y difundir la actividad de resolución de problemas, compartiendo experiencias y aprendizajes que se produjeron a partir de la misma, e invitar al público a reflexionar sobre las implicaciones de dedicar tiempo a intentar resolver problemas de matemática

"Matemática, Formalización y Máquinas de Turing"

Dr. Pedro Sánchez Terraf

Martes 28 de Junio - Aula 27

Aaronson y Yedidia del MIT han publicado un preprint en el que describen dos máquinas de Turing (modelos teóricos, muy simples, de computadoras) que una vez puestas a andar, deberían funcionar sin detenerse nunca, a menos que (respectivamente):

1. la hipótesis de Riemann sea falsa; y

2. la conjetura de Goldbach lo sea.

De hecho, también crearon otra, llamada Z, que también se cree que debería andar para siempre, pero si eso fuera cierto, la matemática actual no puede probar que así sea (*).

Esta construcción técnica (cuya factibilidad se conocía desde tiempos del propio Turing), se popularizó debido a un artículo del New Scientist [1]. En esta charla, trataré de explicar cuáles son los conceptos involucrados y cómo es posible afirmar algo como (*). 

Como siempre, toda nuestra labor es una epopeya entre lo finito y lo infinito.

[1] https://www.newscientist.com/article/2087845-this-turing-machine-should-run-forever-unless-maths-is-wrong/

"Especies combinatorias"

Dr. Javier Guriérrez

Martes 16 de Agosto - Aula 27

En los 80 André Joyal introdujo el concepto de especie combinatoria, actualmente la investigación de estos objetos se encuentra muy avanzada. Quizás uno de aspectos más notables de la teoría de especies combinatorias es la relación que muestran entre categorías y combinatoria. En el seminario definiré las especies combinatorias, mostrando algunos ejemplos relacionados con las particiones de un conjunto y orden lineales.

La primera parte de la charla será autocontenida. Están invitados los estudiantes de grado de las distintas carreras de la Facultad. Al final de charla introduciré la noción de especie de Hopf. Las definiciones ejemplos y resultados se harán de acuerdo a las notas del cursillo dado por Marcelo Aguiar en el pasado Encuentro Colombiano de Combinatoria realizado en Junio de 2016.

"Representaciones de conjuntos parcialmente ordenados ordinarios"

Lic. Ivan Dario Gomez

Martes 30 de Agosto - Aula 16

 Uno de las principales problemas en el estudio de representaciones de estructuras algebraicas es determinar que clase de conjunto es el de todas las representaciones irreducibles salvo isomorfismos finito o infinito que a su vez se desprende en manso o salvaje; si dicho conjunto es finito se dirá que tal estructura tiene tipo de representación finito.

En este seminario se dará la definición de representación de un poset (o conjunto parcialmente ordenado), en el cual se enunciara el Teorema de Kleiner [1] el cual nos dice cuando un poset ordinario finito tiene tipo de representación finito.

A partir de este teorema veremos dos métodos para decidir cuando un poset de longitud 3 tiene tipo de representación finito, los cuales son:

- "Diferenciación con respecto a una pareja conveniente" dada por Zavadskij en [3] y

- "Diferenciación con respecto a un punto maximal" dada por Nazarova-Roiter en [2].

Bibliográfica:

[0] Apuntes del curso "Introduccion a la teoria de representaciones de Posets ordinarios " dictado por el profesor Gonzalo Medina, UNaL sede Manizales.

[1] Kleiner, M.M Partially orded sets of finite type. Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 28 (1972), pp.32-41.

[2] Nazarova, L.A. y Roiter, A.V. Representations of partially ordered sets. Zap. Nauchn. Sem Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 28 (1972). pp. 5-31.

[3] Zavadskij, A.G. Differentiation with respect to a pair of points. Inst. Mat. Akad. Nauk Ucrain. SSSR, Kiev, 1977.

Como parte de los festejos por los 10 años del Seminario de Alumnos hemos invitado a quien fuera el primer expositor en estos seminarios, el Dr. Marcos Gaudiano:

"Una caracterización entrópica para sistemas complejos que tiendan al descontrol"

Dr  Marcos Gaudiano

Martes 13 de Septiembre - Aula 16

Se presentarán propiedades generales de sistemas de muchas componentes que exhiben una estructura N-dimensional, autosimilar y jerárquica. Cada sistema se supone dividido en celdas, a las que se les puede asociar una entropía generalizada S(D), función de la dimensión fractal D de las configuraciones. Esto abre las puertas a una manera general de clasificar las componentes de acuerdo a su grado de incontrolabilidad. Todo esto constituiría un criterio cuantitativo e independiente del punto de vista del observador, lo que sería muy deseable en aplicaciones en diversos sistemas complejos encontrados en Economía, Sociología, Biología, etc. La simplicidad y generalidad de la matemática involucrada en este marco teórico parece señalar, que al menos para una fracción no despreciable de los sistemas complejos, una distribución de componentes proporcional a S(D) define un hipotético estado que alcanzarían estos sistemas bajo una evolución temporal en la ausencia de control.

Referencias: 

1) S. Encarnacao, M. Gaudiano et al, Fractal Cartography of Urban Areas. Scientific Reports 2, 527, Nature Publishing Group, 2012.

2) M.Gaudiano, An Entropical Characterization for Complex Systems Becoming Out of Control, Physica A, 440, 185-199, Elsevier, 2015.

La presentación del Seminario puede verse en seminario_alumnos_marcos_gaudiano.pdf

"Códigos autocorrectores"

Dr. Fernando Levstein

Martes 16 de Septiembre - Aula 16

A partir de un problema que se le presentó a Richard Hamming, un matemático que trabajaba en los Laboratorios Bell, este comenzó a desarrollar una teoría de códigos capaces de detectar y corregir errores en la transmisión de datos. Se presentarán los comienzos de esta teoría que pudo ser usada con mucho éxito en la transmisión de imágenes desde satélites y la grabación de música y videos en CD y DVD. Veremos como la matemática ofrece muchísimas estructuras adaptables a la transmisión de información.

Describiremos en particular, los códigos de Hamming y de Reed Solomon.

"Modelo de Vasicek aplicado a tablas BADLAR"

Lic. Karem Meier

Martes 11 de Octubre - Aula 16

Los modelos de tasas de interés han tenido una vasta aplicación en la práctica financiera. Algunas herramientas son usadas para: política monetaria, finanzas corporativas, riesgo crediticio, derivados financieros, entre otros. Hemos centrado nuestro estudio en los modelos de tasas a corto plazo con el fin de estimar la estructura a término de las tasas de interés (ETTI), esta estructura analiza la relación que existe entre el tiempo que resta hasta el vencimiento de obligaciones o bonos con el mismo grado de riesgo y sus rendimientos durante dicho plazo. Presentaremos el modelo de Vasicek que fue uno de los primeros modelos para tasas a corto plazo pero que aún sigue vigente dada su tratabilidad matemática y la capacidad de generar distintas formas de la estructura de tasas de interés. Este modelo combina ecuaciones diferenciales estocásticas y conceptos estadísticos para modelar las tasas a corto plazo. Aplicaremos el modelo a las tasas Badlar para bancos privados (tasa de referencia Argentina) y construiremos la ETTI para las tasas Badlar tomando como hipótesis que las tasas a corto plazo siguen el modelo de Vasicek asumiendo un escenario libre de arbitraje.

"Números Hipercomplejos, una invitación a la abstracción algebraica"

Lic. Fredy Restrepo

Martes 25 de Octubre - Aula 16

Los números hipercomplejos son extensión de los números complejos construidos mediante herramientas del álgebra abstracta. En este seminario, hablaremos de dos programas distintos para obtener hipercomplejos, ha saber, las extensiones de tipo Cayley- Dickson y las de tipo Clifford. Ejemplos distinguidos del primer tipo son, los cuaterniones y los octoniones. Ejemplos del segundo tipo son, las álgebras de Grassmann (álgebra exterior) y las Álgebras geométricas. 

Posteriormente, hablaremos de algunas propiedades algebraicas, geométricas y topológicas, obteniendo como resultado que los números hipercomplejos son C*-álgebras no conmutativas. Finalmente, tendremos los ingredientes necesarios para formular la siguiente pregunta: ¿Cómo se definen los operadores diferenciales para las funciones de números hipercomplejos?, en otras palabras, ¿Cómo se define el cálculo diferencial para las funciones de hipercomplejos de tal forma que los diferenciales sean compatibles con la estructura de C*-álgebra no conmutativa?

Los distintos programas que dan respuesta a este tipo de preguntas obtienen formulaciones no equivalentes entre si, no obstante, en cada una de estas formulaciones se revelan profundas implicaciones para la Física-Matemática en lo que respecta a la construcción de modelos para una mecánica de observables no conmutativos. 

Bibliografía:

1) John H. Conway, Derek A. Smith, On quaternionins and octonions: their geometry, arithmetic and symmetry, A.K. Peters Wellesley, Massachusetts 2003.

2) John Stillwell, Naive Lie Theory, N.Y. Springer 2008.

3) Francis E. Burstall, Dierk Ferus K. Leschke, Franz Pedit and Ulrich Pinkall, Conformal Geometry of Surfaces in S^4 and Quaternions, LNM, Vol 1772. 

4) John C. Baez, The Octonions, Bulletin of the AMS 39: 145-205. 

Online: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html

5) Juan F. González Hernandes, El Producto Vectorial, Universidad Autónoma de Madrid. Online: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

6) Pagina Recomendada, Geometric Algebra University of Cambridge: http://geometry.mrao.cam.ac.uk/

"Diagramando productos"

Dr. Ivan Angiono

Martes 8 de Noviembre - Aula 16

Comenzando por un ejemplo simple, el del grupo simétrico, mostraremos distintos productos entre diagramas que dan lugar a álgebras importantes para la teoría de representanciones. Discutiremos un poco cómo fue su impacto en dicha teoría, especialmente en los últimos años.

"Sobre la geometría de la Mecánica Clásica"

Lic. Marcelo Rubio

Martes 22 de Noviembre - Aula 16

En este seminario revisaremos algunas nociones básicas sobre geometría simpléctica y su relación intrínseca con la mecánica hamiltoniana, motivado por cierta estructura que aparece al estudiar las ecuaciones de movimiento de una partícula en el espacio. La geometría simpléctica tiene su origen a principios del siglo XIX de la mano de Lagrange y Hamilton, quienes, con el fin de entender la complejidad de las ecuaciones que rigen la dinámica de cuerpos celestes, introdujeron una estructura geométrica que posteriormente despertó el interés de gran parte de la comunidad de matemáticos y físicos. Esta estructura permite dar una interpretación geométrica de la formulación hamiltoniana de la Mecánica Clásica, la cual resulta útil también en Mecánica Cuántica y en Relatividad General.

"Funciones esféricas: de los armónicos esféricos a los                      polinomios q-ortogonales"

 Dr. Pablo Román

Martes 6 de Diciembre - Aula 16

El objetivo de esta charla es discutir la interrelación entre el análisis armónico, las funciones esféricas y la teoría de funciones especiales. Mostraremos tres enfoques de diferentes épocas que van desde el análisis clásico a uno mas algebraico.

En primer lugar, a partir del estudio de un problema de electrostática y utilizando técnicas de análisis clásico, mostraremos como aparecen los armónicos esféricos como soluciones específicas de una ecuación diferencial de segundo orden y su relación con los polinomios de Legendre.

Saltando varios años en el tiempo, abordaremos el enfoque de E. Cartan y H. Weyl quienes mostraron que los armónicos esféricos aparecen naturalmente del estudio de funciones en la esfera de dimensión n y pueden ser interpretados como funciones sobre el grupo SO(n+1) con ciertas propiedades de invariancia con respecto al subgrupo SO(n). Mostraremos que estas funciones se pueden escribir como polinomios hipergeométricos y derivaremos una definición general de función esférica.

Finalmente, mostraremos como puede extenderse la definición de función esférica al contexto de grupos cuánticos, como aparecen familias de polinomios q-ortogonales que las describen en casos particulares y en que lugar tienen dentro del espectro de polinomios ortogonales q-hipergeométricos.

¡¡HASTA EL AÑO QUE VIENE!!