"Curvas Elípticas y el método de Lenstra para factorizar enteros​"

Expositor:  Franco Golfieri (FAMAF-UNC)

Lunes 23 de Noviembre

Resumen:  En 1987 Lenstra presenta, basándose en el método p-1 de Pollard, un nuevo algoritmo para factorizar enteros. Dicho método, a diferencia del de Pollard, se basa en la estructura de grupo que describen las curvas elípticas. Este último mejora sustancialmente las falencias que presentaba el primero, permitiendonos ir cambiando de curvas si es que el algoritmo no funciona para alguna curva en particular. El algoritmo de Lenstra sigue siendo, hasta el día de hoy, el método más eficiente (en computación clásica) para factorizar enteros que presenten primos pequeños en su factorización. En el presente seminario se dará una breve introducción a las curvas elípticas y cómo éstas son usadas en el método de Lenstra. Asimismo se dará una breve motivación histórica del método RSA y algunas aplicaciones del algoritmo de Lenstra a la factorización de ciertos enteros.

"Atando cabos: Nudos, grafos, polinomios y homología​"

Expositora: Lic. Ana Gargantini (Universidad Nacional de Cuyo)

Lunes 16 de Noviembre

Resumen:  En el año 2000, M. Khovanov publica un trabajo con ideas completamente novedosas dentro de la teoría de nudos. Allí introduce un invariante algebraico de nudos y links que hoy se conoce como homología de Khovanov, y que se obtiene a partir de un complejo cúbico asociado al diagrama de un link. Él prueba que un invariante ya conocido (el polinomio de Jones) se puede obtener como característica de Euler de este complejo y más adelante se confirma que la homología de Khovanov resulta un invariante más fino que el polinomio de Jones. Unos años después, Helme-Guizon y Rong retoman la idea de Khovanov aplicandola en teoría de grafos e introduciendo la noción de homología cromática de un grafo, a partir de la cual se recupera su polinomio cromático. En esta charla veremos las nociones básicas para entender estas construcciones y discutiremos algunas similitudes y diferencias entre ellas. Además presentaremos brevemente una noción topológica introducida por N. Cianci y M. Ottina de la cual las construcciones mencionadas son casos particulares. 

"El teorema de Frobenius-Perron y las categorías de fusión​"

Expositora: Dra. Julia Plavnik (Indiana University)

Lunes 9 de Noviembre

Resumen:  Las categorías de fusión son estructuras algebraicas muy interesantes que aparecen naturalmente en diferentes áreas de matemática, como por ejemplo subfactores, grupos cuánticos, topología de dimensión baja, invariantes de nudos, y álgebras de operadores de vértices. Además, el interés en la clasificación de estas categorías, en particular en el caso modular, está motivado por el estudio de fases topológicas de la materia. En esta charla comenzaremos presentando la definición de categoría de fusión, trenzada, y modular y daremos varios ejemplos para comprender estas estructuras y sus propiedades en profundidad. Además mostraremos como un clásico teorema de álgebra lineal, el teorema de Frobenius-Perron, juega un rol fundamental en la definición de un invariante de estas categorías que es clave para avanzar en el problema de clasificación.

"Conjetura de Alekseevskii: avances y preguntas abiertas"

Expositora: Dra. Romina Arroyo (FAMAF, UNC)

Lunes 5 de Octubre

Resumen: Uno de los problemas abiertos más importantes en variedades homogéneas Einstein es la conjetura de Alekseevskii. Esta conjetura afirma que todo espacio homogéneo conexo Einstein de curvatura escalar negativa es difeomorfo a un espacio Euclídeo. En esta charla discutiremos todos los conceptos involucrados en la conjetura antes mencionada, presentaremos avances recientes hacia la misma, compartiremos nuestros aportes y también algunos problemas abiertos. Esta charla está basada en un trabajo conjunto con Ramiro Lafuente (The University of Queensland).

• Pre-requisitos: Algún curso de curvas y superficies (la noción de plano tangente y curvatura de Gauss).

"Introducción al estudio de los conjuntos rectificables"

Expositor: Lic. Ian Fleschler (Princeton)

Lunes 28 de Septiembre

Resumen: ¿Cual es la extensión correcta de las subvariedades C^1 de R^n en un sentido de teoría de la medida? ¿Podemos relajar la definición de una subvariedad C^1 para permitir singularidades en un conjunto de medida cero (para la medida apropiada)? En esta charla daremos una posible respuesta a estas preguntas introduciendo a los conjuntos rectificables. Exploraremos como motivación algunos resultados clásicos y veremos algunas herramientas de utilidad al momento de estudiar rectificabilidad.

"Grupos topológicos y la medida de Haar"

Expositor: Lic. Francisco Galluccio (Universidad Nacional del Litoral)

Lunes 7 de Septiembre

Resumen: Sabemos qué es un grupo, y qué es una topología ¿Los podemos mezclar? Del mismo modo sabemos qué es una medida ¿Podemos medir subconjuntos en un grupo? Y si se puede, ¿Podemos pedir que la medida de un subgrupo sea igual a la de sus clases laterales? Todas esas preguntas y mucho más lo veremos en una introducción a los grupos topológicos y la medida de Haar, junto a sus propiedades y algunas aplicaciones.

"Introducción a la topología de contacto"

Expositora: Lic. Dahyana Farías Uncovich (Universidad Autónoma de Madrid)

Lunes 31 de Agosto

Resumen: La charla consistirá de una breve introducción a la topología de contacto, trataremos de entender esta rama bastante actual de la topología comprendiendo conceptos básicos, dando algunos ejemplos y aplicaciones de los mismos.

"Métodos para el estudio de problemas no lineales"

Expositor: Leandro Milne (FAMAF, UNC)

Lunes 8 de Junio

Resumen: Las ecuaciones diferenciales no lineales reúnen problemas muy diversos entre sí por lo cual no es posible contar con una "teoría general" que los incluya a todos. Lo que sí hay son distintos métodos o técnicas que permiten resolver muchos de estos problemas. En este seminario les contaré sobre dos de ellos: los métodos de sub y supersoluciones y los teoremas de punto fijo.