本網頁縮網址： https://reurl.cc/OMbNXX

所謂「過河問題」，簡單說就是有一艘船。規定一次坐幾個人（或幾樣物品），但有些限制條件。安排一種方法，能讓大家安然無事（或符合條件）地都到對岸去。下面有個例子：

一個爸爸帶著兩個兒子，一個媽媽帶著兩個女兒，一個僕人帶著一隻狗要過河，河邊只有一艘小船，船只能坐兩個人（狗算一個人），但是只有爸爸、媽媽和僕人會划船。如果爸爸不在，媽媽會打兒子；如果媽媽不在，爸爸會打女兒；如果僕人不在，狗會咬其他人。要如何安排，才能讓這家人平安地到達對岸？

在想過河問題的解答，如果不容易想出來，可以思考看看：

假設不考慮同等地位（對稱性，例如爸爸跟媽媽…）的角色交換，解答只有一種的話。

假設您將從A岸到B岸的方法用攝影機拍下來，可確認這種方法符合題目條件（所以才叫解答）。把拍下來的影片用倒帶的方式看，可發現，就算是倒帶，時時刻刻都是符合題目條件。也就是說，順著放帶子時，從A岸到B岸是一種解法；倒放帶子時，從B岸倒回A岸也是一種解法。那應該有兩種解法啦！解法怎麼會唯一呢？

原來，真的要唯一，解法一定前後對稱。也就是說，只要找到中間的「對稱點」，一開始努力朝這個對稱點來設計。到達對稱點以後，把前半段倒過來接在後面，變成後半段，這樣答案就出來了。

回到前面的問題：「一個爸爸帶著兩個兒子，一個媽媽帶著兩個女兒，一個僕人帶著一隻狗要過河，河邊只有一艘小船，船只能坐兩個人（狗算一個人），但是只有爸爸、媽媽和僕人會划船。如果爸爸不在，媽媽會打兒子；如果媽媽不在，爸爸會打女兒；如果僕人不在，狗會咬其他人。」對稱點是什麼？

由於爸爸和媽媽同等地位、兒子和女兒同等地位。所以對稱點應該是：「爸爸和兩個兒子在對岸，媽媽和兩個女兒在原岸，僕人和狗在河中船上。」所以只要一開始能夠進行到對稱點（為前半解法），接著就把前半解法倒接到後面就可完成。

如果把題目改成：「一個爸爸帶著兩個兒子，一個媽媽帶著兩個女兒，一個僕人帶著一隻狗，一個警察帶一個犯人要過河。河邊只有一艘小船，船只能坐兩個人（狗算一個人），但是只有爸爸、媽媽、僕人和警察會划船。如果爸爸不在，媽媽會打兒子；如果媽媽不在，爸爸會打女兒；如果僕人不在，狗會咬其他人（包括犯人）；警察不在，犯人會毆打其他人（包括狗）。要如何安排，才能讓這群人平安地到達對岸？ 」對稱點呢？

這時對稱點就跟上面題目不同了。因為增加了「僕人和警察同等地位、狗和犯人同等地位」，所以這四個不可能同時放在船上，對稱點就變成：「兩個兒子在對岸、兩個女兒在原岸、僕人和狗在對岸、警察和犯人在原岸，爸爸和媽媽在河中船上」！請想想如何從一開始進行到對稱點。

有人會問說，如果解法不是唯一呢？除非無解，如果答案有兩個以上，那麼應該就很容易想出來吧！

By Reheart Sheu 許技江

（此理論約於民國76年（西元1987年）構思完成）