要利用數學歸納法證明：所有正整數 n，2 ^2n–1 +3 ^2n–1 恆為 5 的倍數時，

在 n = k 的位置，設 2 ^2k–1 + 3 ^2k–1 = 5p，p為整數

在 n = k+1 的位置，設 2 ^2n–1 + 3 ^2n–1 = 2 ^2k+1 + 3 ^2k+1 = 4．2 ^2k–1 + 9．3 ^2k–1

書上接著的作法為 = 4 ( 2 ^2k–1 + 3 ^2k–1 ) + 9．3 ^2k–1 – 4．3 ^2k–1

= 4．5p+5．3 ^2k–1 = 5 ( 4p + 3 ^2k–1 )

我認為改成這樣比較簡單：

在 n = k 的位置，設 2 ^2k–1 + 3 ^2k–1 = 5p，p為整數，3 ^2k–1 = 5p – 2 ^2k–1

在 n = k+1 的位置，設 2 ^2n–1 + 3 ^2n–1 = 2 ^2k+1 + 3 ^2k+1 = 4．2 ^2k–1 + 9．3 ^2k–1

接著為 = 4．2 ^2k–1 + 9．( 5p – 2 ^2k–1 ) = 45p – 5．2 ^2k–1 = 5 ( 9p – 2 ^2k–1 )

差異並不是3與2之不同，而是採用代入一個角色的方法

比同時在兩者（或更多）中提出共同數而計算剩餘數，較為簡單

這兩種作法，在證明 10 ⁿ + 3．4 ⁿ⁺² + 5 恆為 9 的倍數中，更為明顯