Навчання нестандартним задачам з теми "Функції" в 7 класі

Зважаючи на те, що учні вже мають досвід оперувати функціональними залежностями виду у = kx + b , можна не витрачати час на розв’язування задач , а почати з означення лінійної функції: лінійною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду у = kx + b, де х – незалежна змінна, k і b – деякі числа.

Доцільно запропонувати учням таке завдання: серед поданих формул показати ті, які задають лінійну функцію:

у = 3х+4; у = 7-х² ; у = х/2 + 4; у = 6х;

у = - 5х +1; у = 10/х ; у = 3/8*х +7; у = 2х² +9;

у = 18 -5х; у = 9х; у = - х; у = 20 – 3/4*х; у = 10.

Аналіз цих прикладів допомагає встановити смисл параметрів k та b у формулі у = kx + b. Якщо b=0, то формула набуває вигляду у =kх. Учитель пояснює, що цією формулою, коли k ≠ 0, задається функція, що має назву пряма пропорційність. Коли k = 0, формула у = kx + b набирає вигляду у =b.

Далі дається означення прямої пропорційності.

Важливе значення має свідоме засвоєння учнями відомостей про графік прямої пропорційності.

Наступним кроком є побудова і аналіз графіків прямих пропорційностей з різними коефіцієнтами k. Учні повинні усвідомити, що розміщення графіка в координатній площині залежить від коефіцієнта k.

Насамперед підкреслюємо, що коефіцієнт k може бути додатним і від’ємним. Якщо k >0, то графік розміщений у І і ІІІ координатних чвертях; якщо k <0, то в ІІ і ІV чвертях. Ці висновки учні роблять на основі порівняння графіків кількох функцій, наприклад у = 2,5х, у = -2,5х, у= -0,3х, у=0,3х.

Зауваження. Треба показати учням і спосіб побудови графіка функції у = kx за двома довільними точками, розміщеними на достатній відстані одна від одної. Тоді початок координат використовуємо як контрольну точку, через яку має пройти графік даної функції.

Особливої уваги потребує область визначення функції у = kx, яка в загальному випадку складається з усіх чисел. Якщо ж область визначення прямої прямої пропорційності складається не з усіх чисел, то графіком цієї функції є відповідна частина прямої (півпряма або відрізок).

Область визначення функції необхідно, зокрема, встановити у задачах з практичним змістом на побудову графіка.

Підкреслимо освітню цінність вправ такого змісту:

1) За накресленими графіками функцій записати формули, якими задано ці функції (рис.1, 2);

Розглянувши пряму пропорційність і її графік, повертаються до лінійної функції в загальному вигляді і будують її графік. Виконавши побудову за точками. Учні приходять висновку , що усі ці точки лежать на одній прямій, яка і є графіком лінійної функції.

Учні повинні вміти прокоментувати такі графіки (рис. 3, 4).

Під час вивчення лінійної функції доцільно розглянути питання про зростання і спадання функції.

Для цього доцільно лише пояснити учням, що функція називається зростаючою на певному проміжку, якщо бідьшому значенню аргументу, взятому з цього проміжку, відповідає більше значення функції. У противному випадку функція називається спадною.

На основі спостережень за графіками лінійних функцій приходять до висновку, що функція, яку задано формулою у = kx + b, при k>0 зростаюча, а при k<0 – спадна. Поступове «нарощення» властивостей функцій під час вивчення їх конкретних видів дасть змогу учням краще усвідомити їх ї самостійно встановлювати наявність чи відсутність уже вивчених властивостей у нових класів функцій.

На основі аналізу підручників, навчальних посібників, збірників олімпіадних задач ми виділили з даної теми чотири типи нестандартних задач, які можуть бути представлені наступними еталонними задачами.

Еталонна задача 1. Побудуйте графік функції y=x+4. Для графіка побудуйте графік симетричний відносно осі ординат. Задайте формулою відповідну функцію.

Еталонна задача 2. Задати формулою лінійну функцію, графік якої проходить через точки: А(-2;-2) і В(4;1).

Еталонна задача 3. Дано рівняння: х-3у=5. Виразити змінну х через змінну у. Пояснити, чому одержана формула задає змінну х як функцію від змінної у. Встановити вид, область визначення і множину значень цієї функції.

Еталонна задача 4. Витрати при перевезенні вантажу двома видами транспорту обчислюються за формулами:

у₁= 100 + 30х у₂ = 150 + 20х,

де х – відстань перевезень у сотнях кілометрів, у₁ і у₂ – транспортні витрати при перевезені вантажу першим та другим видами транспорту в сотнях гривень. Визначте, на які відстані й яким видом транспорту краще перевозити вантаж.

Умовами успішного навчання розв’язування виділених типів нестандартних задач є готовність актуалізувати і застосовувати необхідні теоретичні знання. Ми розглядаємо пряму пропорційність та лінійну функцію узагальнюючи вивчене в 6 класі, узагальнюємо попередній досвід задання функції, її дослідження. Формулюємо в цьому розділі відповідних елементарних умінь – умінь виконувати відповідні дії за елементами теорії.

Навчання виділеним типам задам задач з даної теми, здійснюється на основі блоків поступового ускладнюючих задач. Нижче подані блоки задач, що відповідають виділеним типам задач. Для кожного блоку подано розв’язання однієї із задач, вказані ключові евристики (дії, прийоми, методи), що приводять до знаходження способів розв’язань та описується методика роботи над задачами – особливості організації навчання над задачами блоку, визначаються найбільш доцільні дидактичні методи та прийоми навчання.