Навчання нестандартним задачам з теми "Раціональні вирази"

Навчання нестандартним задачам під час вивчення функції виду: у = k/x

У 8-му класі розглядаючи стандартний вигляд числа, бажано залучати приклади з інших галузей знань та звернути увагу учнів на наближений характер чисел, записаних у стандартному вигляді. За новою програмою наприкінці теми «Степінь з цілим показником і його властивості» вивчають функцію у = k/x , а в наступній темі «Квадратні корені. Дійсні числа» - функції у = х² , у = х^1/2 . У такий спосіб функціональна лінія пронизує весь курс алгебри 8 класу і розвивається у тісному зв'язку з тотожними перетвореннями і розв'язуванням рівнянь. Властивості функцій встановлюють на основі наочних уявлень за допомогою відповідних графіків. Лише область визначення функції обґрунтовують на основі означення. Основна мета вивчення функцій у 8 класі - формування умінь будувати і читати графіки функцій, а також характеризувати за графіками функцій їх властивості та реальні процеси, що вони описують.

Вивчення цієї функції доцільно почати з розгляду конкретних прикладів.

1. Площа прямокутника, виміри якого дорівнюють х і у, виражається формулою ху =k , звідси у = k/x .

2. Відстань між двома пунктами дорівнює 150 м, х – швидкість руху, м/с, у – час руху, с. Тоді у = 150/x .

У цих прикладах змінні х і у набувають лише додатних значень і пов’язані між собою так, що із збільшенням значення х у кілька разів відповідні значення у зменшуються в стільки ж разів. Такі змінні називають обернено пропорційними.

Функція, яку можна задати формулою виду у = k/x , де х – незалежна змінні і k – число, що не дорівнює нулю, називається оберненою пропорційністю.

Про змінну у кажуть, що вона обернено пропорційна до змінної х.

Областю визначення функції, яка задається формулою у = k/x , є множина всіх дійсних чисел, відмінних від 0. Це випливає з того, що вираз у = k/x має зміст при всіх значеннях х, де х ≠ 0.

Графіком функції у = k/x є дві криві лінії, що утворюють одну геометричну фігуру, яку називають гіперболою. Оскільки число 0 не входить в область визначення функції, то на графіку немає точок з абсцисою 0, тобто графік не перетинає вісь у. Оскільки при жодному х значення у не дорівнює 0, то графік не перетинає і вісь х.

Чим більша додатна абсциса точки графіка, тим ближче ця точка розміщена до осі абсцис. Чим ближче додатне значення х до нуля, тим більше відповідне йому значення у. Протилежним значенням х відповідають протилежні значення у. Тому кожній точці графіка з від’ємними координатами відповідає симетрична відносно початку координат точка графіка з додатними координатами.

Розглянемо графік функції у = k/x для k > 0 i k < 0.

На основі аналізу підручників, навчальних посібників, збірних олімпіад них задач ми виділили з даної теми п’ять типів нестандартних задач, які можуть бути представлені наступними еталонними задачами.

Навчання виділеним типам задач з даної теми, як і наступних тем, здійснюється на основі блоків поступового ускладнюваних задач. Нижче подані блоки задач, що відповідають виділеним типам задач. Для кожного блоку подано розв’язання однієї із задач, вказані ключові евристики (дії, прийоми, методи), що приводять до знаходження способів розв’язань та описується методика роботи над задачами – особливості організації навчання над задачами блоку, визначаються найбільш доцільні дидактичні методи та прийоми навчання.