Задачи Осеннего математического марафона - 2024

1. МНОГОХОДОВКА

У каждого из двух игроков есть по три фишки: первый играет красными фишками, а второй - синими. Сперва они по очереди выставляют фишки на свободные клетки доски 3х3, а затем (также по очереди) передвигают свои фишки так, что в центр и из центра можно перемещать фишку из любой другой клетки, а в остальные клетки - только из соседних по стороне. Выигрывает тот, кто составит линию из своих фишек (как в крестиках-ноликах).

а) Всегда ли первый игрок побеждает в этой игре?

б) Сможет ли победить второй игрок, если запретить первому игроку начинать с центральной клетки?

2. СОЛОМКА

На плоскости проведено пять прямых так, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. Каждая прямая точками пересечения разбивается на части: лучи и отрезки. Можно ли части всех прямых покрасить в четыре цвета так, что в каждой точки пересечения сходятся части разных цветов?

3. СДВИГ ПО ФАЗЕ

Для каких фигур гексамино существует замощение плоскости, использующее только параллельные сдвиги этой фигуры? Поворачивать и отражать фигуру нельзя.

4. ПОПРЫГУНЧИК

На бесконечной полосе, разбитой на клетки, сидит кузнечик. На некотором участке полосы друг за другом расположены три камня. Первым прыжком кузнечик перемещается симметрично относительно первого камня, вторым - симметрично относительно второго, третьим - относительно третьего, четвертым - снова перепрыгивает через первый и так далее. Если кузнечик находится на камне, через который он должен перепрыгнуть, то он остается на месте. Как далеко может упрыгать кузнечик от стартовой позиции?

Видео вводной конференции (12 октября)

Таблица итогов

Видео заключительной конференции (14 декабря)

Победители и призеры

Результаты интеллектуальной олимпиады MindTrainer

Командные соревнования

Индивидуальные соревнования