Задачи Весеннего математического марафона - 2024

1. ЗАБЫВЧИВЫЙ КОРОЛЬ (модификация задачи #67176 с ресурса problems.ru)

У короля есть 7 мешков с одинаковыми на вид золотыми монетами, по 35 монет в каждом. Он знает, что в одном мешке любая монета весит 1 г., во втором - 2 г., в третьем - 3 г., ..., в последнем - 7 г., но не помнит, где какие. Король хочет узнать вес монет в одном из мешков и обратился для этого к мудрецу. Может ли мудрец с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить вес монет в выбранном королем мешке? На каждую чашу весов можно класть любое количество монет из любых мешков.

2. ЕГИПЕТСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Можно ли любое число p/q, где p и q - натуральные, представить как сумму различных чисел вида 1/k, где k - натуральное? Например, 1 представляется как 1/2 + 1/3 + 1/6. 

3. ДЫРЯВАЯ ДОСКА

Чему равно минимально возможное число доминошек, которые можно разместить на шахматной доске 8х8 так, что ни одну доминошку больше добавить нельзя?

4. АЛМАЗЫ (задача #35529 с ресурса problems.ru)

На столе лежит куча из 1001 камня. Из нее выкидывают камень и делят кучу на две. Затем из какой-либо кучи, содержащей хотя бы три камня, снова выкидывают камень и снова делят кучу на две непустые кучки и т.д. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

Видео вводной конференции (17 февраля)

Таблица итогов

Видео заключительной конференции (18 мая)

Победители и призеры

Конкурс "Подложи свинью товарищу"

Конкурс проходил вне основного зачета и состоял из двух этапов.

1 этап: командам предлагалось придумать как можно более замысловатую фигуру из 40 клеток, допускающую разрезание по клеткам на 8 различных фигур пентамино (фигура тем лучше, чем сложнее найти для нее такое разрезание). 

2 этап: команды должны были найти разрезания на 8 различных пентамино для тех фигур, что прислали их соперники. Файл с 30 задачами, предложенными командами, можно скачать здесь, а их решения находятся здесь. 

Призовые места распределены на основе разности между количеством решенных командой задач, и числом других команд, которые не справились с их задачей.

Призеры и победители конкурса