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Si chiama Dominio di una Funzione l'insieme dei valori che può essere assunto dalla variabile x senza che il corrispondente valore y perda di significato.
La Retta e la Parabola sono funzioni definite ovunque nel senso che ogni valore reale delle x ha una immagine sull'asse y, e perciò si dicono Funzioni Continue, nel senso che non devo staccare la penna dal foglio quando le disegno. Si dice perciò che il Dominio di Rette e Parabole è tutto l'insieme dei numeri reali R.
Analogamente alla Retta e alla Parabola, qualsiasi funzione descritta da un Polinomio, di qualunque grado, sarà una funzione Continua, e perciò il suo Dominio sarà tutto R.
Invece l'Iperbole non può essere definita ovunque!
Consideriamo l'Iperbole centrata nell'origine, possiamo assegnare alla variabile x qualunque valore e sapremo calcolare il corrispettivo valore delle y, infatti per esempio se x è 2 il valore sulle y sarà 1/2 e così via...
Ma non potremo calcolare l'immagine di x = 0, poiché non è possibile eseguire la divisione con lo zero.
Infatti l'Iperbole non è una funzione continua, poiché dovremo staccare la penna nel disegnarla in corrispondenza dello zero.
Perciò il valore x = 0 è chiamato Asintoto Verticale dell'Iperbole, dato che esso non può far parte del Dominio della Funzione, e scriveremo Dom = R - {0}.
Analogamente qualsiasi funzione omografica, che è in sostanza un'iperbole traslata, avrà come "valore proibito" quel valore che annulla il denominatore.
Quindi per individuare il punto che determina la Discontinuità basta in sostanza fare le Condizioni di Esistenza della Frazione algebrica che descrive la funzione.
Quindi in questo esempio scriveremo
Dom = R - {2}.
E diremo che x = 2 è l'asintoto verticale.
Perciò Qualsiasi Funzione Razionale, avendo un denominatore, dovrà essere analizzata per trovare se ci sono radici che annullano il denominatore, perché in tal caso sarà discontinua.
Possono esistere anche più di un asintoto verticale e ciò dipenderà ovviamente dal grado del denominatore.
Questa ha due asistoti.
Esistono comunque Funzioni Razionali Continue, e sono quelle che hanno per denominatore un polinomio irriducibile.
Questa NON ha asintoti verticali.
Non solo i Denominatori possono causare limitazioni al dominio di una Funzione, esistono altre Criticità che si devono analizzare nello studio del Dominio di una Funzione: ad esempio le Funzioni irrazionali, ovvero che hanno una radice, e le Funzioni Logaritmo.
Le Funzioni Irrazionali non abbiamo avuto occasione di trattarle nel corso del quarto anno, e perciò non mi dilungo a spiegarle.
Le Funzioni Logaritmo ... prossimamente :-)
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