Embedded Files
Significato geometrico
Significato geometrico
La Derivata di una funzione è anch'essa una funzione ed associa ad ogni punto sull'asse x il corrispondente coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto considerato.
Chiaramente dove la curva ha un massimo, o un minimo, la retta tangente sarà orizzontale perciò il coefficiente angolare della tangente è zero.
Dove la curva è crescente la retta tangente avrà coefficiente angolare m>0, dove la curva è decrescente la retta tangente avrà coefficiente angolare m<0.
Quindi studiando il segno della derivata sarà possibile determinare il crescere e decrescere della funzione e i suoi massimi e minimi.
Come si calcola
Come si calcola
Partiamo dalla derivazione dei monomi. La funzione di partenza si indica con y = ....La sua derivata si indica con y' = ....
La derivata di qualunque numero è zero, poiché y = numero è una retta orizzontale, perciò il coefficiente angolare della tangente è ovviamente zero.
La derivata di y = x è 1 poiché la funzione di partenza è una retta e perciò la sua tangente è essa stessa e il suo coefficiente angolare è 1.
Le derivate successive si calcolano abbassando l'esponente del monomio di partenza e riducendo di uno l'esponente.
La derivata di un polinomio si calcola semplicemente derivando un monomio alla volta, come si vede nell'esempio.
Ricerca Massimo e Minimo
Ricerca Massimo e Minimo
Consideriamo una semplice funzione polinomiale di 3° grado e calcoliamo la sua derivata.
Dallo studio del segno della derivata si trovano i due valori 0 e 2: dove il segno della derivata è + la funzione sarà crescente, dove il segno è - la funzione sarà decrescente. Nei punti in cui si annulla ci sono Massimo e Minimo.
Per calcolare le coordinate di questi punti basta sostituire la coordinata x del massimo o minimo nella funzione originale.
Ed ecco quindi come si utilizzano questi indizi nel rappresentare la curva.
Ovviamente potrebbe capitare che dallo studio della derivata risulti che essa sia solo positiva, allora la curva sarà sempre crescente, e ancora potrebbe capitare che essa risulti solo negativa, allora la curva sarà sempre decrescente.
In questo esempio i punti di massimo e minimo sono capitati in valori interi, questo non è detto che succeda sempre, e anzi il più delle volte troverete per Massimo e Minimo valori con la virgola da approssimare.
Se la funzione è razionale il calcolo della sua derivata è un po' più complesso, e si deve applicare la formula che vedete in figura con l'esempio.
Ricerca Asintoto Obliquo
Ricerca Asintoto Obliquo
Se accade che il Limite per x che tende a infinito sia infinito, allora è probabile che ci sia un asintoto obliquo.
In generale un asintoto obliquo è una retta che avrà coefficiente angolare m e termine noto q.
Per verificarne l'esistenza e trovarlo, occorre calcolare questi due limiti all'infinito:
Esempio
Esempio
Riprendiamo la derivata della funzione razionale di prima.
Nel calcolo di m e q, essendoci limiti all'infinito, posso usare il simbolo ugual ordine di grandezza per risolvere.
L'asintoto Obliquo sarà quindi una retta alla quale la curva si avvicina sempre più procedendo verso infinito a destra o a sinistra.
Derivate di ordine successivo
Derivate di ordine successivo
La derivata prima serve a trovare i punti di massimo e minimo, è possibile derivare ulteriormente la derivata prima e trovare la derivata seconda.
Essa rappresenta la concavità della curva, perciò si può studiare il segno della derivata seconda e determinare i punti di cambio concavità, ovvero i punti di flesso.
Non mi dilungo a spiegarli dato che non abbiamo mai avuto occasione di trattare questo argomento.
Page updated
Google Sites
Report abuse