Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensi´on n y m respectivamente, una transformaci´on lineal f : V → W queda un´ıvocamente determinada por los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V . Adem´as, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta informaci´on. Definici´on 3.25 Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensi´on finita. Sean B1 = {v1, . . . , vn} una base de V y B2 = {w1, . . . , wm} una base de W. Sea f : V → W una transformaci´on lineal. Supongamos que f(vj ) = Pm i=1 αijwi (1 ≤ j ≤ n). Se llama matriz de f en las bases B1, B2, y se nota |f|B1B2 , a la matriz en Km×n definida por (|f|B1B2 )ij = αij para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Notaci´on. Si f : V → V y B1 = B2 = B, notaremos |f|B = |f|BB. Ejemplo. Sea f : R 3 → R 2 , f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, x1 + 3x2), y sean B1 y B2 las bases can´onicas de R 3 y R 2 respectivamente. Se tiene que f(1, 0, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (2, 3), f(0, 0, 1) = (−1, 0). Entonces |f|B1B2 = µ 1 2 −1 1 3 0 ¶ . Observaci´on 3.26 Si consideramos la transformaci´on lineal asociada a una matriz A ∈ Kn×m, fA : Km → Kn definida por fA(x) = A.x, entonces, a partir de la definici´on anterior, la matriz de fA en las bases can´onicas E y E0 de Km y Kn respectivamente resulta ser |fA|EE0 = A. Observaci´on 3.27 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on n, y sean B1 y B2 bases de V . Entonces |idV |B1B2 = C(B1, B2), la matriz de cambio de base de B1 a B2 (ver Definici´on 2.16). Mediante el uso de las matrices introducidas en la Definici´on 3.25 y de vectores de coordenadas, toda transformaci´on lineal puede representarse como la multiplicaci´on por una matriz fija. Proposici´on 3.28 Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensi´on finita, y sea f : V → W una transformaci´on lineal. Si B1 y B2 son bases de V y W respectivamente, entonces para cada x ∈ V , |f|B1B2 .(x)B1 = (f(x))B2 . 78 Transformaciones lineales Demostraci´on. Supongamos que B1 = {v1, . . . , vn}. Sea x ∈ V y sea (x)B1 = (x1, . . . , xn), es decir, x = Pn i=1 xivi . Para cada 1 ≤ i ≤ n, sea Ci la i-´esima columna de |f|B1B2 . Por definici´on, Ci = (f(vi))B2 . Entonces |f|B1B2 .(x)B1 = x1.C1 + · · · + xn.Cn = = x1.(f(v1))B2 + · · · + xn.(f(vn))B2 = = ³Xn i=1 xif(vi) ´ B2 = (f(x))B2 .