La inversa de la matriz [A], designada como [A]–1, esta definida por la siguiente propiedad:
[A][A]–1=[A]–1[A]=[I]
donde [I] sería la matriz identidad. Esta propiedad nos dice que la inversa de una matriz dada es otra matriz de iguales dimensiones y que si se multiplica por la matriz original da como resultado la matriz identidad.
Se debe tener presente que solo las matrices cuadradas pueden tener una inversa. Esto se debe a que la definición de una matriz inversa se basa en el concepto de matriz de identidad[I], y solo las matrices cuadradas tienen asociada una matriz de identidad.
Una matriz cuyo determinante es igual a 0, no posee inversa, por ello a este tipo de matrices se le denomina matriz singular.
Una matriz cuadrada no singular solo posee una única matriz inversa.
La inversa de una matriz cuadrada A existe, solo si su determinante es un valor distinto de cero, |A| ≠ 0.
Si A no es singular, entonces también lo es A-1 y (A-1)-1 = A
Si A y B son matrices no singulares, entonces el producto AB da como resultado una matriz no singular y (AB)-1 = B-1A-1
Si A no es singular, entonces (AT) -1 = (A-1)T
Si el producto de las matrices A y B es igual a la matriz de identidad, entonces las matrices son inversas entre si.
La forma general para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular consiste en emplear la siguiente fórmula:
donde |A| es el determinante de A y Adj(A) es la matriz adjunta de A. Ilustraremos como utilizar la fórmula anterior realizando el cálculo de la inversa de una matriz 2×2.
Pasos para encontrar la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan:
Forme la matriz aumentada por la matriz de identidad.
Realice la operación de reducción de filas en esta matriz aumentada para generar una forma escalonada reducida de la matriz.
Las siguientes operaciones de fila se realizan en una matriz aumentada cuando es necesario:
Intercambie dos filas cualesquiera.
Multiplica cada elemento de la fila por un número entero distinto de cero.
Reemplaza una fila por la suma de sí misma y un múltiplo constante de otra fila de la matriz.