Rango de una matriz Utilizando la relaci´on entre matrices y transformaciones lineales introduciremos un nuevo invariante asociado a una matriz: su rango. 3.6.1 Rango columna y rango fila Sean V y W dos K-espacios vectoriales tales que dim V = m y dim W = n, y sean B1 y B2 bases de V y W respectivamente. Sea f : V → W una transformaci´on lineal. Consideremos la matriz de f en las bases B1 y B2 dada por sus columnas: |f|B1B2 = (C1 | . . . | Cm) ∈ Kn×m. Si B1 = {v1, . . . , vm}, entonces Im(f) = < f(v1), . . . , f(vm) >. Tomando coordenadas en la base B2 se obtiene un subespacio T ⊆ Kn dado por T = < (f(v1))B2 , . . . ,(f(vm))B2 > = < C1, . . . , Cm >. Como tomar coordenadas en una base es un isomorfismo, se tiene que dim(Im(f)) = dim < C1, . . . , Cm >. Esto motiva la siguiente definici´on: Definici´on 3.32 Sea A ∈ Kn×m. Se llama rango columna de A, y se nota rgC (A), a la dimensi´on del subespacio de Kn generado por las columnas de A, es decir, si A = (C1 | · · · | Cm), entonces rgC (A) = dim < C1, . . . , Cm >. Mediante el c´alculo del rango columna de una matriz A es posible obtener la dimensi´on del subespacio de soluciones del sistema lineal homog´eneo asociado a A: Observaci´on 3.33 Sea A ∈ Kn×m y sea S = {x ∈ Km / A.x = 0}. Entonces dim S = m − rgC (A). En efecto, consideramos la transformaci´on lineal asociada a A, fA : Km → Kn definida por fA(x) = A.x. Entonces A = |fA|EE0 (donde E y E0 son las bases can´onicas de Km y Kn respectivamente) y S = Nu(fA). Entonces dim S = dim(Nu(fA)) = m − dim(Im(fA)) = m − rgC (A). 80 Transformaciones lineales Ejemplo. Sea A ∈ R 3×3 , A = 1 −2 3 −1 2 1 1 −2 4 , y sea S = {x ∈ R 3 / A.x = 0}. Entonces dim S = 3 − rgC (A) = 3 − dim < (1, −1, 1),(−2, 2, −2),(3, 1, 4) > = 3 − 2 = 1. Teniendo en cuenta el subespacio generado por las filas de una matriz en lugar del generado por sus columnas puede darse la siguiente definici´on de rango fila an´aloga a la de rango columna. Definici´on 3.34 Sea A ∈ Kn×m. Se define el rango fila de A, y se nota rgF (A), como la dimensi´on del subespacio de Km generado por las filas de A. Es decir, si A = F1 . . . Fn , entonces rgF (A) = dim < F1, . . . , Fn >. Observaci´on 3.35 Sea A ∈ Kn×m. Entonces rgF (A) = rgC (At ). Nuestro siguiente objetivo es mostrar que el rango fila y el rango columna de una matriz coinciden. Para hacer esto nos basaremos en la observaci´on anterior. Primero mostraremos que el rango columna de una matriz A no cambia si se la multiplica a izquierda o derecha por matrices inversibles. Lema 3.36 Sea A ∈ Kn×m. Sean C ∈ GL(n, K) y D ∈ GL(m, K). Entonces rgC (A) = rgC (C.A.D). Demostraci´on. Sea fA : Km → Kn la transformaci´on lineal inducida por la multiplicaci´on a izquierda por A. Si E y E0 son las bases can´onicas de Km y Kn respectivamente, se tiene que |fA|EE0 = A y por lo tanto, rgC (A) = dim(Im(fA)). Por la Proposici´on 2.22, puesto que D ∈ GL(m, K), existe una base B1 de Km tal que D = C(B1, E), y como C ∈ GL(n, K), existe una base B2 de Kn tal que C = C(E0 , B2). Entonces C.A.D = C(E 0 , B2).|fA|EE0 .C(B1, E) = |fA|B1B2 , de donde rgC (C.A.D) = dim(Im(fA)) = rgC (A). ¤ Ahora veremos que multiplicando a A por matrices inversibles convenientes se puede obtener una matriz tal que su rango y el de su transpuesta son f´aciles de comparar. Lema 3.37 Sea A ∈ Kn×m − {0}. Entonces existen k ∈ N, 1 ≤ k ≤ min{n, m}, y matrices C ∈ GL(n, K) y D ∈ GL(m, K) tales que (C.A.D)ij = ( 0 si i 6= j 1 si i = j ≤ k 0 si i = j > k