Teoria de Morse
Tópicos em Geometria e Topologia

2º quad - 2022

Visão Geral do Tema

A ideia fundamental em Teoria de Morse é analisar a topologia de uma variedade  por meio do estudo de funções diferenciáveis definidas nessa variedade. No início da década de 1920, M. Morse descobriu que o número de pontos críticos de uma função suave em uma variedade está intimamente relacionado à topologia da variedade. 

As ferramentas desenvolvidas em Teoria de Morse permitem  encontrar CW-complexos associados a uma dada variedade, decomposições em sub-variedades e obter informações substanciais sobre sua homologia.

A Teoria de Morse é uma ferramenta extremamente poderosa que desempenha um papel importante em muitas áreas da Geometria e Topologia.  Algumas aplicações dessa teoria são:  a  prova da conjectura de Poincaré em dimensões maiores que quatro, o teorema da periodicidade de Bott e teoremas sobre a existência de geodésicas fechadas.

Nesse curso,  estudaremos os elementos básicos que constituem a Teoria de Morse clássica e discutiremos a formulação moderna dessa teoria de acordo com  as ideias de Thom, Smale, Witten e Floer, conhecida por Homologia de Morse.

Ementa

• Variedades Diferenciáveis

• Funções de Morse: Lema de Morse

• Existência de Funções de Morse

• Teoremas Clássicos de Homotopia

• Decomposição CW 

• Desigualdades de Morse

• Classificação de Superfícies Fechadas 

• Temas Adicionais - TBD

Pré-requisitos 

Conhecimento básico de análise,  de álgebra, de geometria diferencial e de topologia.

Bibliografia Básica    

John Milnor,  Morse Theory.   Annals of Mathematics Studies, vol. 51, Princeton university press, 1963.

Yukio Matsumoto,  An introduction to Morse theory.   American Mathematical Soc., vol. 208, 2002.

John M. Lee.  Introduction to smooth manifolds. Springer, New York, NY, 2013. 1-31.

Bibliografia Complementar    

Augustin Banyaga, David Hurtubise. Lectures on Morse homology. Kluwer Academic Publishers, 2004. 

Geovan Tavares, Funções de Morse e classificação de superfícies. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.

John Milnor, Lectures on the H-Cobordism Theorem. Princeton university press, 2015.

Manfredo Perdigão do Carmo, Geometria diferencial de curvas e superfícies. SBM, 2010.

Seminários 

• Lema de Morse   - Denilson

• Segundo Teorema Fundamental  - 02 e 04/08/22 - Victor

• Desigualdades de Morse  - 11/08/22 - Denilson

• Densidade de funções de Morse - 16/08/22  - Naísa Camila

• Classificação de superfícies fechadas - 18/08/22 - Bruno

• Função de Morse-Bott - 23/08/22  - Daniel Caprio