Área de uma região qualquer

A reportagem do jornal O Globo mostra que o desastre atingiu uma área de 2980 quilômetros quadrados.

As imagens de satélites abaixo apresentam a área tomada pelos dejetos antes e depois do rompimento da barragem. Repare que se trata de uma região não padrão, bem diferente das regiões estudadas na educação básica, os polígonos.

Fonte: https://www.bbc.com/portuguese/brasil-47004305

A região atingida pelos dejetos apresenta curvas. De forma ilustrativa observe a imagem a seguir e reflita sobre o cálculo da área da região atingida pela lama.

O QUE DIZEM AS PESQUISAS SOBRE O CONCEITO DE ÁREA?

Primeiramente precisamos entender que a área é uma grandeza autônoma no sentido que podemos conceituá-la como classes equivalentes de superfícies (BALTAR, 1996). O ensino do conceito de área tem sido representado pela medida da área, associado a fórmulas que muitas vezes também ofuscam os processos de medição de uma grandeza (LIMA, 1995). Para tanto nos apoiamos em Bellemain e Lima (2002) ao discutirem o conceito de área como grandeza por meio da distinção de três quadros:

O quadro geométrico: constituído por superfícies planas; quadro numérico: consistindo nas medidas das superfícies, que pertencem ao conjunto dos números reais não negativos; quadro das grandezas: contexto próprio da noção de área, que integra os dois primeiros e é caracterizado formalmente como classes de equivalência de superfícies de mesma área (BELLEMAIN; LIMA, 2002, p. 25).

Portanto, o conceito de área articula três frentes que dialogam entre si, mas que possuem especificidades em suas composições. Por isso torna-se importante entender que o campo geométrico, numérico e das grandezas são articulados, mas integram diferentes características. Por exemplo, ao medir a área de uma figura plana, entendemos que a figura está no campo geométrico, a medida está associada ao campo numérico e a área está no quadro das grandezas.

Estas discussões são caras do ponto de vista do ensino de cálculo, principalmente ao associar a relação de integral definida ao conceito de área como grandeza. Nesse ponto de vista, a associação de integral com área caminha muito mais para o quadro numérico relacionando o cálculo de áreas abaixo de curvas com a noção de medida e para o quadro geométrico ao analisar a curva constituída a partir do gráfico de uma função. No entanto, não são discutidos aspectos que relacionam o cálculo diferencial e integral ao conceito de área como grandeza.

Esses aspectos não são particulares do ensino superior. Algumas dificuldades perpassam todo o sistema educacional. Quem nunca se deparou com situações em que as noções de área e perímetro foram confundidas? A utilização de fórmulas desvinculadas de significados também tem comprometido a compreensão de área como uma grandeza (LIMA, 1995).

Agora que já recordamos o conceito de área e algumas discussões no contexto da educação básica, avançaremos para a discussão desse conceito no campo do cálculo diferencial e integral. Como encontrar a área de uma região com lados curvos?

CONSTRUINDO CONHECIMENTO

Antes de respondermos esses questionamentos mais específicos sobre o cálculo de áreas torna-se fundamental adentrar um pouco nas ideias relacionadas às Grandezas e Unidades de Medidas. Para isso vamos buscar estabelecer relações entre os dois desastres ambientais acontecidos em Mariana e Brumadinho. De acordo com a reportagem anterior sobre o acidente de Brumadinho alguns dados importantes foram destacados como área afetada, volume de rejeitos e extensão do rio atingido pela lama.