Introdução

As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando foram encontradas áreas usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época, os gregos já sabiam encontrar a área A de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, como na figura a seguir e, em seguida, somando as áreas obtidas.

Essa ideia é usada na topografia para realizar o mapeamento da terra. O levantamento planimétrico por triangulação pode ser usado para mensurar a área de pequenas propriedades. Inicialmente, representa-se essa propriedade por um polígono. Decompõe-se esse polígono criando uma rede de triângulos. Cada lado do triângulo é medido. Com essa medida é possível calcular a área usando a fórmula do semiperímetro.

Durante a educação básica nos deparamos com algumas discussões sobre área. Mas afinal, qual é o significado da palavra área? O significado dessa palavra está intimamente relacionado ao ato de calcular. De forma intuitiva, calcular a área de uma figura geométrica é medir o espaço dentro dessa figura.

Se resgatarmos nossos conhecimentos sobre área, nossa memória nos fará imaginar figuras geométricas simples como retângulos e triângulos e direcionará nosso pensamento às seguintes ideias:

• O produto do comprimento e da largura de um retângulo resulta na medida da área desse retângulo;

• A metade do produto da base pela altura fornece a área de um triângulo.

Observe que o desafio é muito maior quando pensamos em uma região plana formada por lados não constituídos por segmentos de reta. Vejamos a situação real a seguir.

O subdistrito de Bento Rodrigues, a 35 km do centro do município de Mariana, Minas Gerais, foi palco de um desastre ambiental em 2015, ocasionado pelo rompimento da barragem de rejeitos de mineração de Fundão. No mapa abaixo é possível visualizar a região antes e após desse desastre.

O rompimento da barragem de Fundão projetou, rio abaixo, uma avalanche de lama que criou uma onda que removeu ou destruiu tudo que encontrava nos canais e encostas dos rios. A figura a seguir ilustra o efeito dessa onda.

Abstraindo a área afetada pela onda de lama podemos representá-la pela imagem a seguir:

De forma geral podemos ver que: sendo A_n a área do polígono inscrito no círculo, à medida que aumentamos a quantidade de lados do polígono inscrito na circunferência a sua área ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Desta forma, podemos afirmar que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos e escrevemos:

Demonstração:

Em um triângulo qualquer, sua área é igual a metade do produto das medidas de dois lados pelo seno do ângulo por eles formados.

Considere sucessivos triângulos inscritos em uma circunferência de raio r:

Podemos ter n triângulos inscritos em uma circunferência. Dessa forma, a área dessa circunferência será equivalente a área de n triângulos.

Quando o número de lado de um polígono é arbitrariamente grande, 2pi/2 é um número muito pequeno. Assim, sen(2pi/2) é infinitamente menor que 1. E, pela definição de radiano, o tamanho da “curva” é praticamente igual ao tamanho da “reta”.

Dessa forma, como seno é muito pequeno, ele é aproximadamente igual ao ângulo. Então segue que: