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Vamos estimar, por meio do uso de retângulos, a área abaixo da parábola y = x² no intervalo de 0 a 1, como ilustrado na figura a seguir:
Observe que se dividirmos a figura S em faixas traçando-se retas verticais teremos algo parecido com o ilustrado a seguir. Ao somar a área das faixas S1, S2, S3 e S4 teremos a área abaixo da curva. Mas como podemos estimar a área de cada faixa?
CONSTRUINDO CONHECIMENTO
Acesse o experimento do Geogebra e observe que:
· Em verde podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa;
· Em vermelho podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado esquerdo da faixa;
Agora deixe fixo os valores de a e b e varie os valores n e observe quando n se aproxima de zero e quando assume valores muito grandes.
Algumas observações importantes:
· Em outras palavras a altura desses retângulos é indicado pelos valores da função f(x) = x² nas extremidades direita e esquerda.
· A verdadeira área S abaixo da curva f(x) = x² é um valor entre 0,2734375 e 0,3984375.
· Podemos obter uma melhor estimativa aumentando o valor de n (aumentando o número de faixas), isto é quando n → ∞. Verifique esta afirmação no experimento do Geogebra.
Com base no experimento anterior apresentamos a seguinte definição:
No tópico anterior vimos que um limite da forma:
Aparece quando calculamos uma área.
Daremos a esse tipo de limite um nome e notação especiais: a integral definida. Na série de três vídeos a seguir você verá como as integrais definidas representam a área exata sob uma determinada curva e como as somas de Riemann com retângulos infinitos de largura infinitamente pequena (usando limites) nos fornece a área exata abaixo de uma curva.
Vídeo:
Aproximando a área sob uma curva usando alguns retângulos. Isso é chamado de "soma de Riemann".
Vídeo:
Generalizando a técnica de aproximar a área sob uma curva com retângulos
Vídeo:
Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
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Após assistir os vídeos deixamos uma sequência de exercícios nesta mesma plataforma para que possa exercitar e acompanhar seu próprio desenvolvimento do conteúdo. O Khan Academy oferece uma sequência de outros vídeos e dicas durante o desenvolvimento da atividade. Clique na imagem seguinte para acessar as atividades:
Para tanto, não basta apenas aprender os procedimentos matemáticos, mas sim fazer utilizações e reflexões importantes sobre eles. O limite e a integral definida se apresentam como importantes ferramentas para a compreensão do conceito de área de uma região qualquer. No capítulo seguinte retornaremos ao contexto dos rejeitos despejados na cidade de Mariana/MG.
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