CÁLCULO A UMA VARIÁVEL

Em Matemática, como nas demais áreas é imprescindível que se produza uma aprendizagem conjunta e globalizada dos procedimentos com os demais conteúdos. Utilizamo-los, especialmente, para promover aprendizagens significativas ao aplicá-los e relacioná-los com fatos e conceitos aprendidos pelo alunos. 

A leitura de um livro didático de cálculo difere da leitura de um jornal ou de um romance, ou mesmo de um livro de física. Não desanime se precisar ler o mesmo trecho muitas vezes antes de entendê-lo. E, durante a leitura, você deve sempre ter lápis, papel e calculadora à mão, para fazer contas e desenhar diagramas. Alguns estudantes preferem partir diretamente para os exercícios passados como dever de casa, consultando o texto somente ao topar com alguma dificuldade. Acredito que ler e compreender toda a seção antes de lidar com os exercícios é muito mais interessante. Você deve prestar especial atenção às definições e compreender o significado exato dos termos. E, antes de ler cada exemplo, sugiro que você cubra a solução e tente resolvê-lo sozinho. Assim, será muito mais proveitoso quando você observar a resolução. 

Também podemos usar software para computador como o Graphing Calculator da Pacific Tech (www.pacifict.com) para realizar muitas dessas funções, bem como aplicativos para telefones e tablets, como o Quick Graph (Colombiamug) ou o Math-Studio (Pomegranate Apps). Funcionalidades parecidas estão disponíveis usando uma interface da web em www.wolframAlpha.com. 

Mas afinal o que é o Cálculo?

Cálculo é fundamentado na Álgebra, Geometria Analítica e Trigonometria. 

Nunca é possível evitar completamente a memorização, mas, de forma alguma pode ser a chave do Cálculo. Os estudantes vão lembrar a aplicação de um procedimento ou técnica se puderem ver a progressão lógica que os gerou. Dessa forma podem entender os conceitos subjacentes e deixar de ver o assunto como uma caixa preta na qual se inserem números.

Como se dá a aprendizagem de cálculo sem memorização?

Exercícios preliminares 

1. Dê um exemplo de números a e b tais que a < b e |a| > |b|. 

2. Quais números satisfazem |a| = a? Quais satisfazem |a| = −a? E |−a| = a? 

3. Dê um exemplo de números a e b tais que |a +b|< |a| + |b|

4. Existem números a e b tais que |a +b|> |a| + |b|? 

5. Quais são as coordenadas de um ponto que está na interseção das retas x = 9 e y = –4? 

6. Em que quadrante estão os pontos dados a seguir? 

(a) (1, 4) 

(b) (–3, 2)

 (c) (4, –3)

 (d) (–4, –1) 

7. Qual é o raio do círculo de equação (x − 7)^2 + (y − 8)^2 = 9?

 8. A equação f(x) = 5 tem uma solução se (escolha uma):

 (a) 5 estiver no domínio de f.

 (b) 5 estiver na imagem de f. 

9. Que tipo de simetria tem o gráfico se f (−x) = −f (x)? 10. Existe alguma função que é par e, também, ímpar? 

E quando o estudante trabalha com situações do tipo vistas na proposta abaixo:

Nos Exercícios 1 - 4, encontre a inclinação, o corte com o eixo y e o corte com o eixo x da reta de equação dada. 

1. y=3x + 12;

2. y= 4 - x;

3. 4x + 9y= 3

4. y-3 = (1/2)*(x-9)

Nos Exercícios 5 - 8, encontre a inclinação da reta. 

5. y= 3x+2;

6. y=3(x-9)+2;

7. 3x + 4y= 12;

8. 3x + 4y =-8;

Nos Exercícios 9-20, encontre a equação da reta com a descrição dada 

9. Inclinação 3, corta em 8 o eixo y ;

10. Inclinação −2, corta em 3 o eixo y ;

11. Inclinação 3, passa por (7, 9) ;

12. Inclinação −5, passa por (0, 0) ;

13. Horizontal, passa por (0, −2) ;

14. Passa por (−1, 4) e (2, 7) ;

15. Paralela a y = 3x − 4 e passa por (1, 1) ;

16. Passa por (1, 4) e (12, −3) ;

17. Perpendicular a 3x + 5y = 9 e passa por (2, 3) ;

18. Vertical e passa por (−4, 9) ;

19. Horizontal, passa por (8, 4) ;

20. Inclinação 3, corta em 6 o eixo x .

Qual foi a sua estratégia para resolver estes problemas?

Faço uma lista delas e na sequência retome os exercícios para tentar solucionar os mesmos.

Vamos pensar na Metacognição, ele deve ser treinada sobre três pontos:

• Desenvolvimento de um plano de ação:
  O que eu devo fazer primeiro? Quanto tempo eu levarei para  fazer? O que eu já sei sobre esse assunto e que pode me ajudar?

• Monitoramento do plano de ação:

Como eu estou indo? Eu devo continuar assim ou mudar de estratégia? O que é mais importante de lembrar disso?  Eu tenho que mudar algo agora para conseguir fazer essa tarefa?

• Avaliação do plano de ação:
  Eu me sai bem? Eu poderia ter feito algo diferente? O que eu não consegui fazer? O que eu devo fazer na próxima vez? No que isso pode me ajudar?

Professor, segundo Portilho (2009, p.110-114), com vistas a uma aprendizagem objetiva, significativa e reflexiva, sugere-se que o aprendiz utilize três estratégias metacognitivas:

a) Estratégia de consciência: implica toda atividade regulada e controlada que requer intenção, promove a ação e propicia resultados, porque está diretamente ligada ao sistema e funções cognitivas superiores.

Esta estratégia implica no envolvimento perceptivo do aluno quanto ao que está sendo exigido dele em termos de tarefas de aprendizagem. Esse envolvimento perceptivo implica a captação, ordenação lógica e a interpretação da tarefa – sendo estas as funções cognitivas superiores; não se trata de apenas ler e escrever, de dar resposta a uma questão, de resolver um problema matemático.

Mas, sobretudo, se trata de o aluno multiplicar essa tarefa por conhecimentos; ou seja, o aluno se encaminha, cognitivamente, para o saber-fazer, associar e explicar o processo dessa tarefa.

Porém, é preciso ressaltar que o aluno não faz todo esse envolvimento perceptivo de imediato, bastando apenas que o professor apresente o conteúdo a ser apreendido.

A formação da estratégia de consciência requer do aprendiz condições intrínsecas e extrínsecas, para que a informação inicial se torne conhecimento ativo. Sendo assim, é preciso que haja uma relação próxima entre o conteúdo externo (conteúdos ensinados) com o conteúdo interno (conhecimentos prévios do senso comum).

Assim, para se ter consciência de algo é preciso que esse algo tenha um sentido definido próximo do vivido e, até, do experienciado. Por isso, algumas metodologias de ensino sugerem que se usem imagens e figuras, informações de jornais e de revistas, da televisão (desenhos, filmes, etc.) para o professor demonstrar (sinalizar) para seus alunos o que está ensinando.

Desse modo, por exemplo, você aprenderá de maneira mais dinâmica e lúdica, se o professor utilizar de materiais concretos (não convencionais: tampinhas de garrafa, frutas pequenas, canetinhas, palitos de picolé...), pois há uma relação de conhecimentos associados, já que tais recursos são de conhecimento dos alunos; assim, com certeza, será os conceitos de inclinação da reta e tangente mais assimilada pelos alunos do que pelo uso da memorização puramente mecânica.

b) Estratégia de controle: qualquer atividade, mesmo que realizada de maneira automática, conserva ou até mesmo exige certo grau de regulação e controle em um nível mais elevado e, até requer adaptação por parte do aprendiz.

Nesta estratégia se encontra a importância de fazer com que o você (aluno) retenha (aprenda) a ter controle de sua aprendizagem, de modo que seus conhecimentos sejam aplicados toda vez que for necessário, ampliando assim, as redes de conhecimento.

Esse processo é a capacidade de o aluno administrar seus empenhos (na ação) para fazer com que sua aprendizagem seja parte da realidade em que se insere. Assim, por exemplo, chupar uma laranja é muito simples, mas descascá-la é um processo, uma ação, que levará a um resultado.

A adaptação da aprendizagem pode ser representada pelos meios que o aluno utiliza para a manutenção ou memorização de sua aprendizagem. Nesse caso, é muito comum, por exemplo, termos que olhar nas teclas numéricas do telefone para lembrar um número de telefone de uso pouco comum. Bem como, lembramos uma senha bancária só quando a digitamos com mais frequência.

O estudante, muitas vezes, transfere sua aprendizagem para meios aos quais recorre para não esquecer e, em certa medida, ter controle. Para um aluno adulto, por exemplo, repete suas situações de aprendizagem; praticando exaustivamente suas estratégias, aprende pela analise e síntese modelos diversos; ou ainda, quando desenha, explorando seus sentimentos sobre o que aprendeu, dando forma para seu conhecimento através da escrita. Mas, ao chegar nesse nível, já encontraremos a terceira estratégia: a autopoiese.

c) Estratégia de autopoiese: esta terceira estratégia cognitiva implica o autofazer-se, construir por si próprio, tendo três condições:

• análise e síntese que compõe a dialética;

• recursividade, ou, a progressiva ligação do aprendido com recursos anteriormente conhecidos;

• feedback, que implica adaptação, autoaprendizagem, auto-organização na interação com o mundo.

Vemos aqui que nesta estratégia encontram-se três condições distintas, mas interligadas e, até, dependentes.

Autofazer-se é, sobretudo, o aprendiz ter todas as capacidades de absorver, decifrar e interpretar os códigos (simbólicos e não simbólicos) contidos em uma informação e, através das funções cognitivas superiores, transformar essa informação em conhecimento relacionado, associado e implicado nas situações de uma determinada realidade que o aprendiz já conhece. Porém, há condições para que isso ocorra.

O ambiente motivacional.