Embedded Files
До системи прикладних задач курсу алгебри і початків аналізу включаюь такі типи задач:
1) Прикладні задачі, що приводять до поняття первісна.
2) Прикладні задачі на застосування поняття первісної у природничих науках та економіці.
3) Прикладні задачі, що приводять до поняття визначений інтеграл.
4) Прикладні задачі на застосування визначеного інтеграла у фізиці, біології, економіці та інших галузях.
5) Задачі практичного змісту на застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл обертання
1. Прикладні задачі, що приводять до поняття первісна
Рівень А
Наведена задача є прикладом задачі, що приводить до поняття первісної і розкриває смисл довільної сталої С у загальному вигляді первісної. Розгляд задач такого типу корисний для учнів. Він сприяє глибокому усвідомленню ними поняття первісної і операції інтегрування.
Дану, та подібні до неї задачі, ми відносимо до задач першого рівня складності (А), оскільки для її розв’язання необхідно виконати два кроки, а саме, з’ясувати від якої функції слід взяти похідну, щоб одержати функцію швидкості, представлену в умові задачі, та, використовуючи початкову умову, знайти значення сталої C .
2. Прикладні задачі на застосування поняття первісної у природничих науках та економіці
Серед вправ, що закріплюють поняття первісної, сприяють засвоєнню основної властивості первісної і трьох правил її знаходження, доцільно розглянути прикладні задачі, розв'язуючи які, учні набуватимуть навички відшукання первісних. Наступний та подібні до нього приклади ми відносимо до задач першого (А) та другого (Б) рівнів складності, залежно від складності знаходження первісної, яку доводиться визначати у задачі.
Рівень Б
Пропонуємо декілька подібних задач для самостійного розв’язування
Рівень А
Існують дещо складніші задачі, в яких спочатку шукають первісну заданої функції, за тим же принципом що і у попередніх задачах, а потім шукану функцію, яка є первісною останньої знайденої. Ці задачі ми відносимо до другого рівня складності (Б).
Рівень Б
3. Прикладні задачі, що приводять до поняття визначений інтеграл
У підручниках шкільного курсу алгебри і початків аналізу, зокрема перед введенням означення інтеграла розглядають задачу про площу криволінійної трапеції. Дана задача розв'язується одним і тим самим методом, яким розв'язуються багато інших прикладних задач (про масу неоднорідного стержня; про шлях, який пройшло тіло при прямолінійному русі; про роботу змінної сили; про силу тиску рідини на вертикально розміщену пластинку; про кількість речовини, яка вступила в хімічну реакцію; про чисельність популяції; про обсяг випуску продукції та інші).
Будь-яка зі згаданих задач може мотивувати введення поняття визначений інтеграл, залежно від профілю класу в якому це поняття вивчається. Проводячи узагальнення спільного способу розв'язування названого вище типу задач доцільно використати таблицю 1, в якій розглянуті декілька прикладних задач і виділені п'ять кроків даного способу:
Рівень Б
Наступна задача більш складна, для її розв’язування за відомим алгоритмом необхідні додаткові відомості з шкільного курсу фізики та вміння застосувати їх при вирішенні практичної ситуації. Тому цю задачу ми відносимо до третього рівня складності (В)
Як уже зазначалось, до поняття інтеграла приводять не лише задачі фізичного змісту, а і задачі хімічного, біологічного та економічного змісту. Розглянемо окремі з них. Ці задачі відносяться також до другого рівня складності (Б).
4. Прикладні задачі на застосування визначеного інтеграла у фізиці, природничих науках та економіці
Прикладні задачі на застосування інтеграла у фізиці, природничих науках, економіці можуть бути включені у процес навчання після введення означення інтеграла і ознайомлення учнів з формулою Ньютона–Лейбніца. Їх бажано розділити на три рівні складності, врахувавши умови диференціації навчання.
Сформулюємо задачі даного типу, які відносяться до трьох рівнів складності, і з'ясуємо особливості їх розв'язування.
Розпочнемо з задач першого рівня складності (А). Приступаючи до розв'язування запропонованих задач, необхідно пригадати задачі, які розв'язувались під час вивчення поняття похідної та деякі прикладні задачі загального характеру, які приводять до поняття інтеграл (табл. 1).
Результати, які були одержані при їх розв'язанні, допоможуть відповісти на питання, поставлені в задачах даного типу. Розв'язуючи задачі наведеного рівня складності, учні повинні визначити первісну функції, заданої в умові задачі (або функції, яку неважко задати), встановити межі інтегрування, після чого обчислити інтеграл, підінтегральною функцією якого є задана в умові задачі функція. Одержаний при цьому результат і буде відповіддю або може бути використаний для знаходження відповіді на поставлене в задачі питання.
Рівень A
Пропонуємо декілька подібних задач для самостійного розв’язування
Наступний набір задач відноситься до другого рівня складності (Б). Причиною тому є те, що підінтегральна функція не міститіся в умовах її треба побудувати, використовуючи відомі учням формули та факти з суміжних предметів.
Рівень Б
Задачі для самостійного розв’язування
Розглянемо задачі на застосування поняття інтеграла, які відносяться до третього рівня складності (В). Їх розв’язання передбачає побудову математичної моделі, проведення додаткових досліджень перед інтегруванням і побудова самої моделі є дещо складнішою ніж у задачах попереднього рівня. Розглянемо приклади таких задач.
Рівень В
Пронуємо наступні задачі для самостійного розв’язування учнів
5. Задачі практичного змісту на застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл обертання
Задачі на застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур та об'ємів тіл обертання, також відносяться до трьох рівнів складності. Розпочнемо з розгляду задач першого рівня складності (А), під час розв’язування яких безпосередньо використовуються відомі формули площі плоскої фігури та об’єму тіла обертання. Межі інтегрування в цих задачах або відомі або їх нескладно знайти.
Рівень А
Розглянемо задачі другого рівня складності (Б). Це задачі в яких знаходження площі чи об’єму геометричної моделі дещо складніше ніж у попередніх задачах.
Рівень Б
Page updated
Google Sites
Report abuse