Застосування похідної в різних областях науки

Похідна в механіці

Механічний рух - це зміна положення тіла в просторі відносно інших тіл з плином часу. Основною характеристикою механічного руху є швидкість.

Розглянемо алгоритм знаходження швидкості тіла за допомогою похідної.

Якщо закон руху тіла заданий рівнянням 𝑠 = 𝑠(𝑡), то для знаходження миттєвої швидкості тіла в який-небудь певний момент часу треба:

1. Знайти похідну 𝑠′′ = 𝑓′′(𝑡).

2. Підставити в отриману формулу задане значення часу

Похідна в електротехніці

У наших будинках, на транспорті, на заводах: усюди працює електричний струм. Під електричним струмом розуміють спрямований рух вільних електрично заряджених частинок. Кількісною характеристикою електичного струму є сила струму.

У ланцюзі електричного струму електричний заряд змінюється з плином часу за законом 𝑞 = 𝑞(𝑡). Сила струму І є похідною заряду q по часу.

Похідна в хімії

І в хімії знайшло широке застосування диференціальне числення для побудови математичних моделей хімічних реакцій і подальшого опису їх властивостей.

Хімія - це наука про речовини, про хімічні перетворення речовин. Хімія вивчає закономірності перебігу різних реакцій. Отже, як же саме використовують похідну в хімії?

Наприклад, інженерам-технологам при визначенні ефективності хімічних виробництв, хімікам, які розробляють препарати для медицини і сільського господарства, а також лікарям і агрономам, які використовують ці препарати для лікування людей і для внесення їх в грунт. Одні реакції проходять практично миттєво, інші йдуть дуже повільно. Тому в реальному житті для вирішення виробничих завдань у медичній, сільськогосподарській та хімічній промисловості просто необхідно знати швидкості реакцій хімічних речовин.

Швидкістю хімічної реакції називається зміна концентрації реагуючих речовин в одиницю часу або похідна від концентрації реагуючих речовин за часом (на мові математики концентрація була б функцією, а час – аргументом).

Якщо P (t) - закон зміни кількості речовини, що вступив в хімічну реакцію, то швидкість v (t) хімічної реакції в момент часу t дорівнює похідній:

𝑉 (𝑡) = 𝑝 ′(𝑡)

Похідна в біології

Популяція - це сукупність особин даного виду, що займають певну ділянку території всередині ареалу виду, що вільно схрещуються між собою і частково або повністю ізольованих від інших популяцій, а також є елементарною одиницею еволюції.

Ефективна чисельність популяції – це сукупність особин, які беруть участь у відтворенні потомства (Ne).

Щільність популяції – це чисельність популяції на одиницю площі.

Формула Ферсхюльца: 𝑁1 = (𝑁𝑒 – Ксмерт) (Кнародж + 𝑁0) Швидкість чисельності популяції: 𝑣(𝑡) = 𝑁′(𝑡)

У багатьох прикладних задачах роль математичної моделі відіграють трикутники. Задачі цього виду також бувають різних рівнів складності. Включаючи їх у процес навчання, слід правильно установити послідовність задач за принципом "від простого до складного" з урахуванням індивідуальних особливостей і можливостей учнів. Необхідно дотримуватися розумної різноманітності задач у системі. Пропонуємо декілька задач названого типу.

Похідна в економіці

Сучасний економіст повинен добре володіти кількісними методами аналізу. До такого висновку неважко дійти практично з самого початку вивчення економічної теорії. При цьому важливі як знання традиційних математичних курсів (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей), так і знання, необхідні безпосередньо в практичній економіці і економічних дослідженнях (математична і економічна статистика, теорія ігор, економетрика та ін.).

Математика є не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження. Вона служить засобом гранично чіткою і ясною формулювання економічних понять і проблем.

Економіка - основа життя, а в ній важливе місце займає диференціальне числення – апарат для економічного аналізу. Базова задача економічного аналізу – вивчення зв'язків економічних величин у вигляді функцій.

Похідна вирішує важливі питання.

В якому напрямку зміниться дохід держави при збільшенні податків або при введенні миту?

Збільшиться чи зменшиться виручка фірми при підвищенні ціни на її продукцію?

Для вирішення цих питань потрібно побудувати функції зв'язку входять змінних, які потім вивчаються методами диференціального обчислення.

Також за допомогою екстремуму функції (похідної) в економіці можна знайти найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток, максимальний випуск і мінімальні витрати.

Тому, похідна важлива для економіки, і ми розглянемо основні аспекти.

Економічний додаток похідної

В економічній теорії використовується поняття «маржинальний», тобто «граничний». Введення поняття в XIX столітті дозволило створити новий інструмент опису економічних явищ, за допомогою якого стало можливо вирішувати наукові проблеми. Економічна теорія Сміта мала справу з середніми величинами: середня ціна, середня продуктивність праці. Але склався інший підхід. Істотні закономірності можна виявити і в області 49 граничних величин. Граничні величини характеризують не стан, а зміна економічного об'єкта. Отже, похідна виступає як інтенсивність зміни економічного об'єкта.