Відношення і пропорції

Українська мова багата на синоніми. Наприклад, слова урок і заняття, думати і мислити, вчитель і наставник близькі за значенням.

Подібних прикладів чимало й у математиці: другий степінь числа і його квадрат, один процент, один відсоток і одна сота, промінь і півпряма — вже знайомі тобі «математичні синоніми».

Ось ще один приклад:

частку двох чисел а і b, які не дорівнюють нулю, ще називають відношенням чисел а і b або відношенням числа а до числа b.

Числа а і b називають членами відношення, число а — попереднім членом відношення, а число b — наступним. Наприклад,

16:4 — відношення числа 16 до числа 4;

3:7— відношення числа 3 до числа 7;

Зрозуміло, що відношення двох натуральних чисел а і b можна записати у вигляді дробу . Так само домовились використовувати риску дробу і тоді, коли а і b — дробові числа.

Часто відношення чисел використовують тоді, коли треба порівняти дві величини. Наприклад є два відрізки: АВ = 5 см, СD = 2 см. Відношення довжини відрізка АВ до довжини відрізка СD дорівнює 5 : 2 або 2,5. Це відношення показує, що відрізок АВ у 2,5 раза більший за відрізок СD або що відрізок АВ становить відрізка СD.

Відношення довжини відрізка СD до довжини відрізка АВ дорівнює 2:5. Це відношення показує, що довжина відрізка СD становить довжини відрізка АВ.

Отже, відношення чисел а і b показує, у скільки разів число а більше за число b або яку частину число а становить від числа b.

Якщо а і b — натуральні числа, то для відношення «працює» основна властивість дробу:

відношення не зміниться, якщо його члени помножити або поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю.

Ця властивість залишається справедливою й тоді, коли члени відношення — дробові числа. Це правило називають основною властивістю відношення.

Відношення дробових чисел можна замінити відношенням натуральних чисел.

Часто на практиці використовують відношення величин:

• швидкість — відношення довжини пройденого шляху до часу, за який пройдено цей шлях;

• ціна — відношення вартості товару до кількості одиниць його виміру (кілограмів, літрів, метрів, коробок, пачок, пакетів і т. ін.);

• масштаб карти — відношення відстані на карті до відповідної відстані на реальній місцевості;

• густина — відношення маси речовини до її об’єму;

• продуктивність праці — відношення обсягу виконаної роботи до часу, за який було виконано цю роботу.

Приклад. Знайдіть відношення 3,2 м до 16 см.

Щоб знайти відношення двох величин, треба спочатку виразити їх в однакових одиницях виміру, а потім виконати ділення:

3,2м : 16 см = 320 см : 16 см = 20.

ПРОПОРЦІЇ

Наведені записи читають: «відношення а до b дорівнює відношенню с до d або «а відноситься до b, як с відноситься до d».

Числа a i d називають крайніми членами пропорції, а числа b і с — середніми членами пропорції.

У пропорції 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3 числа 3,6 і 0,3 — крайні члени, числа 0,9 і 1,2 — середні члени.

Зауважимо, наприклад, що відношення 2:4 і 3 : 9 не рівні, тому утворити пропорцію вони не можуть.

ЦІКАВО ЗНАТИ!

Із давніх-давен люди намагалися пізнати світ через пошук гармонії та досконалості. Від часів Піфагора вважали гармонійним поділ, під час якого менша частина відноситься до більшої, як більша частина відноситься до всього цілого a : b = b : c або с : b = b : а. Це відношення виражено наближено дробами 2/3; 3/5; 5/8; 8/13; 13/21 тощо, де 2, 3, 5, 8, 13, 21 тощо — числа Фібоначчі.