Прикладні задачі про випадкові події та їх ймовірності

Теорія ймовірностей широко застосовується в різних галузях науки і техніки, оскільки з масовими явищами можна зустрітися у фізиці, хімії, астрономії, медицині, сільському господарстві, біології а особливо у генетиці.

Метою вивчення елементів теорії ймовірностей в загальноосвітній школі, зокрема в спеціалізованих школах і класах природничого профілю, є закладення основ для навчання учнів опрацювання статистичного матеріалу, формування розуміння того, що багато законів природи і суспільства мають імовірнісний характер, сприяння розвитку статистичного мислення учнів, формування навичок побудови найпростіших імовірнісних моделей реальних ситуацій.

Досягнення поставленої мети відбувається з допомогою прикладних задач, що приводять до математичних понять, та задач на застосування цих понять. Це дає можливість навчити учнів елементів математичного моделювання в процесі розв’язування таких задач. Для розв’язування названих задач потрібно знати не лише основні поняття теорії ймовірностей, а й основні поняття природничих наук, зокрема біології та генетики. Пригадаємо деякі з них

Популяція – сукупність особин одного виду, що мають спільний генофонд і займають певну територію.

Генофонд – сукупність генів у особин даної популяції або виду. Генотип – сукупність усіх генів організму.

Гетерозигота – організм, у якого гомологічні хромосоми містять різні алелі того чи іншого гена .

Гомозигота – організм, у якого гомологічні хромосоми містять однакові алелі того чи іншого гена.

Гомологічні хромосоми – парні хромосоми, які схожі за морфологічними ознаками й містять однаковий набір генів.

Домінантний ген (А ) – ген який завжди має переваги при успадкуванні.

Рецесивний ген (а) – ген який пригнічується домінантним.

Фенотип – сукупність усіх ознак і властивостей організму, які формуються внаслідок взаємодії його генотипу й зовнішнього середовища.

Вивчення початків теорії ймовірностей розпочинається з введення певного кола понять, якими вона оперує. Найважливішим поняттям теорії ймовірностей як галузі математики є поняття випадкової події. В шкільному курсі алгебри і початків аналізу вводиться насамперед поняття ймовірності для елементарних подій.

Зупинимось на практичних ситуаціях природничого характеру, розгляд яких перед введенням означення класичної ймовірності допоможе учням усвідомити дане поняття.

Задача. Деяка популяція рослин складається з особин трьох типів, помічених AA, Aa, aa. Чисельність кожного типу відповідно дорівнює 200, 600 і 50. Припустимо, що з цієї популяції випадково вибирають одну рослину. Яка імовірність того, що ця рослина типу AA ?

Задача. У деякій популяції у 40 % людей волосся темне, у 40 % – руде і у 20 % – світле. У цій популяції у всіх темноволосих людей очі карі, у всіх світловолосих – блакитні, у однієї половини рудих – блакитні, а у іншої карі. Яка імовірність того що у людини темне волосся? Яка імовірність того що у людини карі очі?

Задача. У сім’ї двоє дітей. Вважаючи народження хлопчика і дівчинки рівноможливими подіями, знайти імовірність того, що в сім’ї: а) дві дівчинки; б) діти однієї статі.

Серед задач на обчислення ймовірностей випадкових подій на основі класичного підходу зустрічаються більш складні, розв’язування яких потребує використання формул комбінаторики.

Задача. В одному акваріумі перебувають 3 білі, 3 червоні і 3 блакитні рибки. Знайдіть імовірність того, що випадково виловлені три рибки виявляться білими.

Задача. Із 20 осіб, які одночасно захворіли грипом, 15 одужали повністю за 3 дні. Знайдіть імовірність того, що серед 5 навмання вибратих осіб: а) всі 5 одужали за 3 дні; б) тільки 4 одужали за вказаний термін; в) жодна особа не одужала за 3 дні.

До понять теорії ймовірностей, про які повинні мати уявлення учні, відноситься поняття статистичної ймовірності. У чинних шкільних підручниках, зокрема підручнику з алгебри і початків аналізу, cтатистична ймовірність означається через поняття статистичної частоти. В класах природничого профілю при введенні цих понять варто використовувати задачі такого змісту.

Задача. Серед 7500 ампул, перевірених на герметичність, виявилось 15 з тріщинами. Визначити відносну частоту появи ампул що мають тріщини.

Задача. У деякому місті за певний період часу народилось 83 дитини, з яких 43 хлопчики. Визначте відносну частоту народження хлопчика.

Задача. Хімічний дослід повторюють 7 разів, в 5 випадках він закінчується успіхом, а в інших – невдачею. Визначте відносну частоту успішних виходів даного досліду і найможливіше число успішних виходів у наступній серії, що складається з 10 дослідів.

Задача. За даними медичної статистики серед донорів 37 % мають групу крові A , 23 % – групу B , 1 % – групу AB і 39 % – групу O . У деякий момент часу на станції переливання крові виявилось 8 донорів, що прийшли на станцію за власною ініціативою. Визначити найімовірніший розподіл числа донорів по групах крові.

Під час вивчення початків теорії ймовірностей не обмежуються розглядом лише основних понять, якими вона оперує, крім понять, розглядаються теореми про додавання ймовірностей несумісних подій, множення ймовірностей незалежних подій, імовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій. Розглянемо деякі прикладні задачі природничого характеру, включення яких у навчальний процес створює перед учнями проблемні ситуації і допомагає їм при формулюванні та використанні згаданих теорем.

Задача. Деяка популяція рослин складається з особин трьох типів, помічених AA, Aa, aa. Чисельність кожного типу відповідно дорівнює 200, 600, 50. Припустимо, що з цієї популяції випадково вибирають одну рослину. Яка ймовірність того, що випадково вибрана рослина виявиться типу AA або Aa ?

Задача. У деякій популяції у 40 % людей волосся темне, у 40 % – руде і у 20 % – світле. У цій популяції у всіх темноволосих людей очі карі, у всіх світловолосих блакитні, у однієї половини рудих – блакитні, а у іншої карі. Яка ймовірність того, що людина з даної популяції темноволоса і кароока, темноволоса з блакитними очима?

Задача. В одному акваріумі перебувають 7 червоних, 8 зелених і 6 блакитних рибок. Яка ймовірність того, що випадково виловлена рибка не буде червоною?

Задача. Відповідно до статистичних даних, групу крові A має 0,369 частини всіх європейців, групу B – 0,235, групу AB – 0,006, групу O – 0,390. Знайдіть імовірність того, що у довільно взятого донора – європейця група крові A або B .

Поняття протилежної події використовується при розв’язуванні таких задач.

Задача. У лабораторії знаходиться 10 кроликів, з них носіїв вірусу B1 – три, а носіїв вірусу B2 – сім. Навмання взято два кролики. Яка ймовірність того, що вибрані кролики носії різних вірусів?

Задача. У домашній аптечці 5 упаковок ліків, із яких 3 упаковки аспірину і 2 тетрацикліну. Навмання беруть 2 упаковки. Яка ймовірність того, що одна з них з аспірином а одна з тетрацикліном?

Задача. У домашній аптечці 5 упаковок ліків, із котрих 3 упаковки анальгіну і 2 цитрамону. Випадковим способом відразу беруть 3 упаковки. Яка ймовірність того, що принаймні одна з них з цитрамоном?

Поняття незалежної події є наступним поняттям теорії ймовірностей, що розглядається у старшій школі. Серед теорем, які стосуються цього типу подій, особливу увагу приділяють теоремі множення ймовірностей незалежних подій. При цьому корисним буде розгляд задач такого типу.

Задача. Серед 18 пацієнтів у двох негативний резусфактор. Знайдіть імовірність того, що серед двох довільним чином вибраних пацієнтів виявиться пацієнт з негативним резусфактором.

Задача. Багато генів, зчеплених зі статтю, є рецесивними і викликають дефекти (дальтонізм, гемофілія). Нехай a – такий ген. Тоді дефект мають всі чоловіки типу a та жінки типу aa (жінки типу Aa дефекту не мають, але можуть передавати його нащадкам). Яка ймовірність дальтонізму у жінок, якщо в середньому на 100 осіб чоловічої статі один дальтонік?

Задача. Причинами природженої сліпоти можуть бути аномалії кришталика та рогівки ока. Це рецесивні ознаки, які успадковуються незалежно. Мати і батько здорові, але є носіями рецесивних алелей сліпоти. Яка імовірність народження у них здорових і хворих дітей?

Задача. Імовірність виживання одного організму протягом 20 хвилин дорівнює 0,7. У пробірці з сприятливими для виживання цих організмів умовами міститься два тільки що народжені організми. Яка імовірність того, що через 20 хвилин вони будуть живими?

Задача. Дві фармацевтичні фірми незалежно одна від одної розробляють аналогічні препарати. Імовірність того, що до закінчення року перша фірма випустить свій препарат дорівнює 0,9, а друга – 0,7. Яка імовірність того, що принаймні один із препаратів буде готовий до виробництва наприкінці року?

Задача. Кароокий праворукий юнак одружується з такою самою дівчиною. Обоє гетерозиготні за обома алелями. Закохані мріють про те, щоб у них народилась блакитноока праворука дитина. Яка ймовірність народження такої дитини?

До більш складних задач природничого змісту слід віднести задачі, для розв’язування яких одночасно використовуються теореми додавання і множення. Зупинимось на деяких з таких задач.

Задача. В сім’ї двоє дітей. Враховуючи, що ймовірність народження хлопчика 0,52, визначте ймовірність того що в сім’ї: а) двоє хлопчиків; б) хоча б одна дівчинка; в) старша дитина дівчинка, а менша хлопчик; г) один хлопчик.

Задача. У сім’ї троє дітей. Враховуючи, що ймовірність народження хлопчика 0,52 знайдіть ймовірність того, що в сім’ї: 1) три хлопчики, 2) діти однієї та другої статі.

Практичні ситуації, покладені в основу сюжетів наступних задач, допоможуть учням при вивченні теореми про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

Задача. Хворому потрібне переливання крові. Ймовірність, що кров взятого навмання донора виявиться придатною, p 0,2. Яка ймовірність, що з 10 донорів хоча б у одного група крові буде придатною?

Задача. В аптеці є 2 лікарські препарати, які можуть бути використані при даному захворюванні. Ймовірність позитивного результату при використанні першого препарату 0,8, а другого – 0,9. Яка ймовірність того, що взятий навмання препарат дасть позитивний результат?

До понять, якими оволодівають учні під час вивчення елементів теорії ймовірностей, відноситься поняття умовної ймовірності, яке засвоюють перед вивченням теореми множення ймовірностей. Підібрані при цьому задачі повинні бути нескладними за змістом і давати можливість учням усвідомити зміст нового поняття.

Задача. На обстеження до лікарні прибула група з 10 чоловік. Відомо, що троє з них хворі. Лікар запрошує до кабінету по два пацієнти. Знайдіть ймовірність того, що вони обидва є: 1) хворі; 2) здорові.

Задача. Під час епідемії в населеному пункті 60 % мешканців виявились хворими. З кожних 100 хворих 10 потребують термінової медичної допомоги. Знайдіть ймовірність того, що будь-якому навмання взятому мешканцю необхідна термінова медична допомога.

Задача. У 97 % пацієнтів при прийомі певного лікарського препарату спостерігається зниження кров’яного тиску, при цьому у 0,2 % пацієнтів виникають алергічні реакції. Яка ймовірність алергії за відсутності бажаних наслідків (зниження кров’яного тиску)?

Поняття взаємно незалежних випробувань відноситься до кола понять, якими оволодівають учні під час вивчення курсу алгебри і початків аналізу старшої школи. Вивчення початків теорії ймовірностей передбачає ознайомлення зі схемою та формулою Бернуллі. Розглянемо задачі природничого змісту, які доцільно розв’язувати поряд з задачами чинного підручника при засвоєнні названого матеріалу.

Задача. Лівші складають в середньому 1 % населення. Яка ймовірність, що в колективі з 200 чоловік буде 3 лівші?

Задача. Встановлено, що вовк, який один нападає на лося, досягає успіху у 8 % випадків. Яка ймовірність того, що в 5 випадках успішними будуть дві спроби?

Задача. Посилаючись на багаторічні спостереження, виклик лікаря в деякий будинок оцінюється ймовірністю 0,4. Знайдіть ймовірність того, що з 5 викликів лікаря два виклики будуть в один будинок.

Задача. Хворому необхідно зробити переливання крові. Ймовірність того, що група крові виявиться придатною p 0,3. Знайдіть ймовірність того, що з 5-ти донорів у двох група крові виявиться придатною.

Задача. Поява колонії мікроорганізмів даного типу в певних умовах оцінюється ймовірністю 0,8. Визначте ймовірність того, що із 5 випадків ця колонія мікроорганізмів з’явиться не менше чотирьох разів.

Page updated

Google Sites

Report abuse