Embedded Files
„Елементи комбінаторики” – одна з трьох складових тем змістової лінії курсу алгебри і початків аналізу старшої школи за програмами для загальноосвітніх навчальних закладів . Без її засвоєння неможливе вивчення теми „Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики”, передбаченої програмою для спеціалізованих шкіл, гімназій, ліцеїв природничого профілю.
Теоретичний матеріал останньої змістової лінії курсу „Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей, статистики” може бути глибоко усвідомлений і засвоєний тільки в процесі розв’язування прикладних задач, оскільки теорія ймовірностей виникла у зв’язку з практичними потребами і знайшла широке застосування в різних галузях науки, виробництва та економіки.
Тематика комбінаторних задач надзвичайно різноманітна, але для досягнення поставленої мети при профільному навчанні варто серед інших задач розглядати прикладні задачі природничого характеру, які переконуватимуть учнів у тому, що математика забезпечує базу для вивчення хімії, біології, медицини.
Розглянемо задачі, за допомогою яких учні зможуть засвоїти правило добутку, яке використовується в подальшому при розв’язуванні численних комбінаторних задач.
Задача. На деякому ореалі є 14 видів плодових мушок, 17 видів метеликів і 13 видів комарів. Скількома способами можна вибрати по одному виду кожного типа ?
Задача. На деякому ореалі є 14 видів плодових мушок, 17 видів метеликів і 13 видів комарів. Скількома способами можна вибрати по одному виду кожного типа ?
Задача. За підрахунками існує 2 млн. видів комах, 1 млн. видів рослин, 20000 видів риб і 8700 видів птахів. Якщо для порівняльного аналізу потрібно обрати по 1 виду від кожної з цих чотирьох категорій, то скількома способами це можна зробити?
Задача. Для ретельного аналізу ступеня впливу факторів на ефективність проведення хімічної реакції за участю трьох компонент A, B, C вирішено провести експерименти для 5 значень концентрації речовини A, 3 значень концентрації компоненти B і 2 значень компоненти C , крім цього заплановані два температурних режими ( T ). Скільки експериментів необхідно провести, варіюючи чинники A, B, C, T , щоб мати повну інформацію про досліджувану реакцію?
При вивченні сполук без повторень та формуванні поняття про комбінаторні задачі, в яких треба знайти, скількома способами можна виконати ту чи іншу дію, варто розпочати з розгляду задач такого типу.
Задача. Вісім лабораторних тварин треба упорядкувати відповідно до їх здібностей виконувати певні завдання. Знайдіть число можливих упорядкувань, припускаючи, що однакових здібностей не існує.
Задача. Один біолог намагається класифікувати 46200 видів комах, позначаючи кожний вид трьома великими літерами алфавіту. З’ясуйте, чи буде завершена ця класифікація, вважаючи, що у алфавіті 29 великих літер? Скільки потрібно було взяти літер для позначення одного виду?
Задача. У генетичному експерименті із 5 білих квіток гороху було взято для запилення 3 квітки. Скількома способами це можна зробити?
У запропонованих задачах йдеться як про скінченні множини, складені з елементів живої та неживої природи, так і про їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінченні множини, в яких істотним є або порядок їх елементів, або належність певних елементів до цих множин, або перше і друге одночасно.
Такі скінченні множини (сполуки) дістали назви перестановок, розміщень, комбінацій. Засвоїти означення сполук допоможе заповнення разом з учнями наступної таблиці. Перед заповненням таблиці слід зауважити, що впорядкованість множини є однією з ознак, за наявністю або відсутністю якої сполуки відрізняються. Після того як учні вивчать формули чисельностей сполук без повторень, можливе самостійне розв’язування даних задач.
Задачі для самостійного розв’язування
Задача. У трьох пробірках, поставлених у трипробірковий штатив, містяться різні препарати. Скільки можливих способів розміщення цих препаратів у штативі?
Задача. Із групи в 9 кроликів необхідно вибрати трьох і помістити їх в 3 клітки, позначені номерами 1, 2, 3. Скількома способами це можна зробити?
Задача. Скількома способами можна скласти букет з 7 різних квітів, якщо є 9 сортів квітів?
Задача. Для лікування захворювання вживають 5 видів ліків. Вважають, що послідовність, в якій вживають ліки, істотно впливає на результати лікування. Скільки існує різних порядків призначення цих ліків?
Після закріплення теоретичних відомостей про сполуки та повторення правил суми і добутку необхідно перейти до розв’язування задач такого типу.
Задача. У лабораторній клітці тримають 8 білих і 6 коричневих мишей. Знайдіть число способів вибору п’яти мишей з клітки, якщо: а) вони можуть бути довільного кольору; б) три з них повинні бути білими, а дві коричневими; в) всі вони повинні бути одного кольору.
Задача. У лабораторній клітці тримають 8 білих і 6 коричневих мишей. Знайдіть число способів вибору п’яти мишей з клітки, якщо: а) вони можуть бути довільного кольору; б) три з них повинні бути білими, а дві коричневими; в) всі вони повинні бути одного кольору.
Задача. У 6 хлопчиків і 11 дівчаток у класі є ознаки інфекційного захворювання. Для того щоб перевірити наявність захворювання, потрібно взяти вибірковий аналіз крові у двох хлопчиків і двох дівчаток. Скількома способами це можна зробити?
Задача. У генетичному експерименті 4 білих, 7 червоних і 5 рожевих квіток гороху були взяті для запилення з вибірки, яка містить по 10 квіток кожного з названих кольорів. Скількома способами можна це зробити?
Задача. У деякого захворювання існує 6 відомих симптомів. Це захворювання діагнозується, якщо у хворого проявляється не менше чотирьох симптомів. Скільки різних комбінацій симптомів можуть привести до встановлення даного діагнозу?
Задача. З 10 різних квітів треба скласти букет так, щоб у ньому було не менше двох квітів. Скількома способами можна скласти такий букет?
Задача. У деякого захворювання є n відомих симптомів. Хворий може мати всі ці симптоми, жодного з них або будь-яку кількість симптомів. Скільки існує можливих комбінацій симптомів?
Page updated
Google Sites
Report abuse