Похідна та її застосування

Поняття "похідна” відноситься до центральних понять диференціального числення. З історії відомо, що до відкриття похідної прийшли, незалежно один від одного, англійський математик і механік І. Ньютон у 1670 – 1671 р.р., розв’язуючи задачу механіки про визначення миттєвої швидкості та німецький філософ і математик Г.Лейбніц у 1673 – 1675 р.р., розв’язуючи геометричну задачу про знаходження положення дотичної до кривої у певній точці. За допомогою цього поняття досліджують процеси і явища в природничих та економічних науках.

У згаданих процесах та явищах стан тіл та їх властивості неперервно змінюються. Під час вивчення залежностей, які описують ці явища (процеси), в першу чергу постає питання про знаходження їх швидкості. Задача про визначення швидкості, з якою змінюється величина і приводить до поняття похідної. Поняття похідної доцільно вводити як узагальнення результатів розв’язання відповідних прикладних задач.

До згаданої системи прикладних задач відносяться такі типи задач:

1. Задачі практичного змісту, що приводять до поняття похідної.

2. Прикладні задачі, в розв’язуванні яких поняття похідної відіграє першорядну роль.

3. Задачі на застосування похідної до дослідження функцій (на монотонність, на екстремум, найбільше та найменше значення, за загальною схемою на основі якого будується її графік), які є математичними моделями прикладних задач.

Під час вивчення змістової лінії ”Похідна та її застосування” введення поняття похідної відбувається після узагальнення способу розв'язування класичних задач: задачі механіки про визначення миттєвої швидкості і геометричної задачі про визначення положення дотичної до кривої в певній точці .

При розв’язуванні згаданих задач доводиться проводити ті ж самі міркування, що і при розв’язуванні численних задач природознавства та економіки. Розгляд цих задач буде корисним для учнів, які вивчають математику в класах природничого-математичного напряму профілізації (фізико-математичного, хіміко-біологічного, екологічного профілю) та суспільно-гуманітарного напряму профілізації (економічного профілю). Оскільки його метою є узагальнення спільного способу розв’язування різноманітних задач, то для проведення розгляду доцільно використати наступні таблиці 1 та 2.

1. Задачі практичного змісту, що приводять до поняття похідної

Перед введенням означення похідної не варто детально зупинятися на кожному з прикладів практичних задач, наведених у таблицях 1, 2. Аналіз декількох з них є достатнім для усвідомлення чотирьох кроків спільного способу розв'язування, які фактично і визначають правило знаходження похідної. Решту задач корисно розглянути у конкретній числовій формі після введення означення похідної. Це дасть змогу не тільки запам'ятати означення даного поняття, але й навчити користуватися ним, тобто навчити застосовувати його для відповіді на конкретні запитання.

Розглянемо декілька прикладів таких задач. Ці задачі відносяться до першого (А) рівня складності, оскільки математична модель міститься в умові задачі та розв’язування задачі відбувається за вже відомим у правилом знаходження похідної.

2. Прикладні задачі, в розв’язуванні яких поняття похідної відіграє першорядну роль

Після того, як учням будуть відомі формули похідних різних функцій і основні теореми про похідні, корисно розглянути інший прийом розв'язування – диференціювання функції, яка відіграє роль математичної моделі прикладної задачі. Ці задачі бажано розділити на три рівні складності (А, Б, В).

До задач першого рівня складності (А) відносимо задачі в яких функція, яка відіграє роль математичної моделі, міститься в умові задачі або її нескладно побудувати. Розв'язування даних задач зводиться до диференціювання функції та знаходження значення похідної в певній точці.

До задач другого рівня складності (Б), в розв’язуванні яких поняття похідної відіграє першорядну роль, відносимо задачі які потребують знання учнями механічного та геометричного змісту похідної; вміння будувати нескладну математичну модель, використовуючи знання з геометрії та задачі; розв’язування яких в середині побудованої математичної моделі, потребує володіння математичними вміннями та навичками на достатньому рівні.

До задач третього рівня складності (В) відносимо задачі які потребують виконання трьох етапів математичного моделювання, або задачі розв’язування яких в середині побудованої математичної моделі потребує високого рівня математичної підготовки учнів. Сформулюємо задачі даного типу, які відносяться до трьох рівнів складності.

3. Задачі на застосування похідної до дослідження функцій (на монотонність, на екстремум, найбільше та найменше значення, за загальною схемою на основі якого будується її графік), які є математичними моделями прикладних задач.

З'ясуємо роль і місце цих задач при підготовці до вивчення теоретичних питань курсу та при закріпленні тільки що набутих теоретичних знань і формуванні математичних умінь. Покажемо, як можна використовувати цей тип задач та ілюстративні життєві приклади у процесі навчання, виходячи з різних дидактичних цілей.