Crecimiento, máximos y mínimos. Tasa de Variación Media.
Investiga sobre el significado de crecimiento y decrecimiento de una función, máximos y mínimos y la Tasa de Variación Media (T.V.M.)
OPCIÓN A (visual)
OPCIÓN B (auditivo-verbal)
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de la variable independiente aumenta también el de la variable dependiente.
Una función es decreciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el de la variable dependiente.
Una función presenta un máximo relativo (o máximo local) en un punto cuando el valor de la función en dicho punto es mayor que cualquiera de los valores que están a su alrededor (en su entorno).
(a, f(a)) es máximo relativo si f(a) >= f(x), para todo x perteneciente al Intervalo
Si, además, el valor es mayor que en cualquier otro punto de la función, se dice que la función alcanza un máximo absoluto (o máximo global) en él.
(a, f(a)) es máximo absoluto si f(a) > f(x), para todo x en Dom(f)
Una función presenta un mínimo relativo (o mínimo local) en un punto cuando el valor de la función en dicho punto es menor que en cualquiera de los valores que están a su alrededor (en su entorno).
(a, f(a)) es mínimo relativo si f(a) <= f(x), para todo x en el Intervalo.
Si, además, el valor es menor que en cualquier otro punto de la función, se dice que la función alcanza un mínimo absoluto (o mínimo global) en él.
(a, f(a)) es mínimo absoluto si f(a) < f(x), para todo x en Dom(f)
Si una función presenta un máximo o un mínimo en un punto, se dice que tiene un extremo en dicho punto, que podrá ser relativo o absoluto
Una función es monótona en un intervalo cuando es únicamente creciente (o únicamente decreciente) en dicho intervalo.
Una función es constante en un intervalo cuando la variable dependiente toma siempre el mismo valor.
Fuente: apuntesmareaverde.org.es
Tasa de variación media
La Tasa de Variación Media (T.V.M) de una función f en el intervalo [a,b] es el cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo.
Observa que la T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.
La T.V.M. de una función en un intervalo es el "promedio" de la variación de la función en el intervalo: cuánto varía en relación con la longitud del intervalo.
En el ejemplo la función f(x) se representa en verde, el segmento AB en rojo, (f(b)-f(a)) en naranja y (b-a) en morado.
La T.V.M. es el cociente entre lo que varía la función en vertical (segmento naranja) y lo que varía la variable independiente (segmento morado).
La velocidad media de un objeto en movimiento en un intervalo de tiempo (distancia recorrida/tiempo transcurrido) es un caso particular de la T.V.M.
Fuente: Matemáticas Anaya. Colera, J., Oliveira, M.J., Gaztelu, I. Fuente de la imagen: elaboración propia.
Actividad I6. Organiza lo que ya sabes.
Realiza un mapa conceptual sobre lo que sabes hasta ahora acerca de las funciones: concepto, formas de presentarlas, dominio y rango, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos.
Puedes hacerlo en Cmap Cloud:
Actividad I7.
Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
Función 1
Función 2
Función 3
Función 4
Fuente de las imágenes: elaboración propia.
Actividad Cooperativa I8.
En la siguiente gráfica vamos a desplazarnos de izquierda a derecha.
Hipotetiza sobre lo que va a ocurrir:
- ¿Qué tipo de punto crees que es M?
- ¿Y m?
- ¿Cómo es la función f(x) entre M y m?
- Y, a la derecha de m ¿qué ocurre con la función?
- Desplaza el punto X y observa la leyenda donde dice si f(x) es creciente o decreciente.
Actividad I9. Observa la gráfica de la función y responde:
- ¿Cuál es su dominio de definición y su recorrido?
- ¿Tiene máximo y mínimo relativos? ¿Cuáles son?
- ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
- ¿En qué intervalos es la función creciente y en cuáles es decreciente?
Fuente de la imagen: elaboración propia.
Actividad I10. Organiza lo que ya sabes.
En la tabla siguiente, completa la columna ¿Qué es? Más adelante podrás realizar el estudio de una función siguiendo esta tabla.
Fuente: Matemáticas Anaya. Colera, J., Oliveira, M.J., Gaztelu, I.
Fuente de la imagen: elaboración propia.
Actividad I11.
Halla la T.V.M. de la función en los intervalos [2,4] y [0,3].
Actividad I12.
La altura de una piedra lanzada hacia arriba vienen dada por la ecuación e=40t-5t^2. Halla la velocidad media en los intervalos [0,2] y [4,6].
¿Qué ocurre cuando la piedra cae?¿Qué valor toma la velocidad?
Fuente: Matemáticas Anaya. Colera, J., Oliveira, M.J., Gaztelu, I.
Fuente de la imagen: elaboración propia.
