Sophie Germain er en fransk matematiker der lever under den franske revolution og kæmper for overhovedet at få lov til at studere. Hun beviser Fermats sidste sætning for en bestemt gruppe tal.
https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html Dette er det meget komprimerede bevis for at n=4 ikke har løsninger. Det forudsætter at man har vist noget om pythagoræiske tripler, og så skal man nok også bruge lidt tid på at forklare springene i argumentationen.
I beviset indgår kendskab til pythagoræiske tripler dvs heltallige talsæt hvor a^2+b^2=c^2. Vi kalder det primitivt, hvis a b og c ikke har fælles divisorer (de er primiske). Hvis to af dem har vil alle tre have og så kan vi "forkorte" hele talsættet med denne divisor.
For primitive (dvs indbyrdes primiske) pythagoræiske tripler (a,b,c) gælder c er ulige og netop en af a og b er ulige. Hvis vi antager det er a gælder, at vi kan finde u og v så a=u^2-v^2 b=2*u*v c=u^2+v^2 , hvor netop et af tallene u o v er ulige (se et bevis i Jens Carstensen: Talteori s 54-56 https://drive.google.com/file/d/18SpQZphHXBo_EKXhd2iasPau7ZNRnflM/view?usp=drive_link
Pythagoræiske tripler og Fermats sætning for n=4. Det er noter til et bevis jeg ikke kan huske hvor jeg har set: https://drive.google.com/file/d/1kcVtxXN4uXQPE0wkf4QfoR6IUjGH--yS/view?usp=drive_link
Diofantiske ligninger- Fermats sidste sætning Johan P Hansen . Her er en anden glimrende fremstilling af Fermasts sidste sætning med løsning for n=2 og n=4 og historiske kommentarer. Det er ikke let at læse, men det er besværet værd.
Et andet bevis for x^4+y^4=z^4 ikke har en heltallig løsning. Det er til at forstå, men der er lang vej http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-4.html og herunder egenskaber ved pthagoræiske tripler: https://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/pythagorean-triples-solution.html
Sophie Germain and Special Cases of Fermat’s Last Theorem https://www.math.mcgill.ca/darmon/courses/12-13/nt/projects/Colleen-Alkalay-Houlihan.pdf . I artiklen gennemgåes Germains bidrag. Det er svært at læse.
Om pythagoræiske tripler og komplekse tal: https://youtu.be/QJYmyhnaaek (Meget illustrativ video. Lidt langhåret, men nok lettere at vise uden irrationelle tal og nok også den metode Fermat selv brugte
Tankens magt