失智鼠闖迷宮

場景：

科學家探索失智老鼠行為模式，設計 3 間不同密室各自擺上不同氣味食物，觀察這隻失智老鼠在各密室活動情形，並加以記錄分析發現以下模式：

問題：

(1) 此失智老鼠自【密室一】出發，在 10 步驟內分別停留在各密室機率如何？

(2) 此失智老鼠是否有固定行為模式？若有，最終分別在各密室機率為何？

解法：

options(digits=4) rm(list=ls()) Pn <- function(P, n) { ans <- P if (n > 1) { for (i in seq(2, n)) { # 矩陣相乘 ans <- P %*% ans } } ans } P <- matrix(c(1/2, 1/4, 1/4, 0, 1/3, 2/3, 1/2, 1/2, 0), byrow=TRUE, nrow=3, ncol=3) P0 <- matrix(c(1, 0, 0), byrow=TRUE, nrow=1, ncol=3) # 移轉機率結果矩陣 A <- matrix(0, nrow=10, ncol=3) for (i in 1:10) { # 矩陣相乘 ans <- P0 %*% Pn(P, i) A[i,] <- c(ans[1], ans[2], ans[3]) print(sprintf("%02d) 密室一:%.4f 密室二:%.4f 密室三:%.4f", i, ans[1], ans[2], ans[3])) } # 移轉機率結果矩陣欄位名稱 colnames(A) <- c('密室一', '密室二', '密室三') # 繪製移轉機率結果矩陣立體觀點圖 persp(A, xlab='密室一', ylab='密室二', zlab='密室三', main='機率趨勢平面圖', theta=30, phi=30, expand=0.5, col="lightblue", ltheta= 120, shade=0.75, ticktype="detailed") # 狀態關係： 轉置矩陣 - 單位矩陣 W <- t(P) - diag(nrow=3, ncol=3) # 各狀態機率和 = 1 W2 <- rbind(W, c(1, 1, 1)) # 解穩態方程式： 移除首列多餘關係式 ans <- solve(W2[2:4, ], c(0, 0, 1)) #穩態機率 print(sprintf("<穩態> 密室一:%.4f 密室二:%.4f 密室三:%.4f", ans[1], ans[2], ans[3])) #期望再現時間 print(sprintf("<穩態需要移轉次數> 密室一:%.4f 密室二:%.4f 密室三:%.4f", 1/ans[1], 1/ans[2], 1/ans[3]))

答案：