Mise en cascade de cellules du 2nd ordre

Cascading more than two identical 2nd order BP sections (fo & Q) : what is the value of the overall QT ?

Position du problème.

Lorsque l'on souhaite réaliser un filtre passe-bande très sélectif (coefficient de qualité Q_T élevé), il peut être intéressant de réaliser ce filtre comme la mise en cascade de plusieurs filtres passe-bande du second ordre de propriétés identiques : même coefficient de qualité Q, même fréquence centrale fo. Le coefficient de qualité résultant Q_T est fonction du coefficient Q de chaque cellule élémentaire, ainsi que du nombre N de cellules mises en cascade. Les filtres passe-bande associés ont, individuellement, un coefficient de qualité moindre (Q_T >> Q) et sont donc plus faciles à réaliser.

Un seul filtre du 2nd ordre.

On va considérer que le passe-bande très sélectif à réaliser est assimilable, dans la bande passante à un assemblage de plusieurs cellules passe-bandes du second ordre. Il est donc évident que cette association réalise un filtre dont la pente en

et en est supérieur à +/-20dB/décade (pente pour 1 passe-bande). Mais autour de la fréquence centrale, l'idée est que ces deux structures doivent se comporter de façon identique.

La fonction de transfert d'un filtre passe bande du second ordre (fo, QT) est :

Le module de H est :

A la limite de la bande passante (BP), ce module vaut -3dB (puisque ici le gain max. est de 1 en linéaire), soit .

Il est facile de vérifier que les deux dénominateurs se ressemblent (en posant bien sûr 1+1 = 2). QT doit donc vérifier :

[eq.1]

Note: si fo et QT sont connus, résoudre l'équation précédente donne les valeurs numériques des fréquences min et max de la BP.

Mise en cascade de N cellules élémentaires.

La fonction de transfert globale, résultante de l'association de ces N filtres ayant chacun un coefficient de qualité Q, est :

Les pulsations délimitant la bande passante, définie à -3dB, doivent vérifier l'égalité sur le module :

Ce qui, légèrement transformé, devient :

L'équation (1) est injectée dans celle-ci, ce qui permet de se débarrasser des pulsations :

Et finalement:

Connaissant la valeur du coefficient QT désiré, et le nombre de cellules que l'on souhaite associer, on en déduit la valeur de Q, coefficient de qualité de chaque cellule.

Documents.

• doc. technique du circuit MAX275 : observez qu'en bas de la page 15 une erreur de typographie apparaît sur la formule : le "-1" n'est pas dans l'exposant du 2.
• Note d'application LINEAR AN27 (A simple method of designing multiple order all pole bandpass filters by cascading 2nd order sections) : la formule (4) indiquée est ici correcte.

Illustration avec LTSpice.

Cas d'étude : filtre passe bande à 36 kHz de BP 1 kHz, soit un QT de 36. Par l'association de 5 cellules du 2nd ordre, chacune de ces cellules aura un coefficient de

.

Le fichier de simulation est téléchargeable ci-dessous.