Sistema de ecuaciones de primer grado

Es un conjunto de ecuaciones con las mismas variables, en que todas las ecuaciones del sistema tienen las mismas soluciones.

Resolver un sistema de ecuaciones significa buscar y encontrar si es posible, los valores de todas las variables que resuelven todas las ecuaciones del sistema.

En este proceso pueden presentarse 3 tipos de solución.

CASO 1: Cuando el sistema no tiene solución.

CASO 2: El sistema tiene una única solución.

CASO 3: Cuando el sistema tiene múltiples soluciones.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.

Eliminación de una incógnita.

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.

Los métodos de eliminación son:

1º. Por adición o sustracción.

2º. Por igualación.

3º. Por sustitución.

1º. Eliminación por adición o sustracción:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplicar los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

b) Sumar las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

c) Resolver la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustituir este valor en una de las ecuaciones dadas y al resolver; se obtiene así la otra incógnita.

Resolver el sistema:

x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),

2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Solución:

Multiplicar ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:

2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Restar miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":

-7y = 28 ,

se obtiene: y = -4.

Sustituir el resultado de "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despejar a "x":

x - 3y = 9

x - 3(-4) = 9

x + 12 = 9

x = -3;

por tanto: x = -3; y = -4.

2º. Eliminación por igualación:

a) Despejar, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

b) Igualar las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.

c) Resolver la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

d) Sustituir el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

Resolver el sistema:

x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),

4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:

x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,

x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Igualar las dos expresiones que representan el valor de "x":

22 - 2y = (7 + y) / 4

Dese forma entera, o sea, quitar los denominadores, luego resolver:

88 - 8y = 7 + y

-9y = -81

y = 9

Sustituir en (3) o en (4) el valor hallado para "y":

x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),

x = 22 - 2(9)

x = 4

Resultado: x = 4; y = 9.

3º. Eliminación por sustitución.

a) Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones.

b) Sustituir la expresión que representa su valor en la otra ecuación.

c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

d) Sustituir el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolver la ecuación resultante.

Resolver el sistema:

3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),

4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2).

Se va a eliminar "x". Despejar el valor de "x" en (1):

3x = 22 - y

x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Sustituir (3) en (2):

4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1

4 (22 - y) - 9y = -3

88 - 4y - 9y = -3

-13y = -91

y = 7.

Sustituir en (3) el valor hallado para "y".

x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).

x = (22 - 7) / 3

x = 5

por tanto: x = 5; y = 7.

A continuación presento un video tomado de YouTube donde se explica de una forma muy clara un ejemplo para resolver un sistema de ecuaciones con 2 incognitas y asi tambien como la comprobación.