Ementa Proposta:
1. Equações de Euler-Lagrange
1.1. Limitações das leis de Newton, vínculos.
1.2. Trabalho virtual, princípio de D ́Alembert.
1.3. Equações de Euler-Lagrange, coordenadas cíclicas e quantidades conservadas.
1.4. Teorema de Noether e simetrias dos sistemas físicos.
1.5. Sistemas c/vínculos não holônomos, multiplicadores de Lagrange.
1.6. Oscilações acopladas em sistemas com muitos graus de liberdade, freqüências e coordenadas normais.
2. Equações de Hamilton
2.1 Equações de Hamilton do movimento e transformada de Legendre
2.2 O principio de Hamilton. Cálculo variacional, dedução das equações de Hamilton a partir do princípio
variacional.
3. Transformações canônicas
3.1 As equações da transformação canônica
3.2 Exemplos de transformações canônicas
3.3 Parênteses de Poisson e outros invariantes canônicos
3.4 Equações de movimento, transformações canônicas infinitesimais e teoremas de conservação na ação dos
parênteses de Poisson
3.5 Relações dos parênteses de Poisson para o momento angular
3.6 Grupos de simetria de sistemas mecânicos
3.7 Teorema de Liouville
4. Teoria de Hamilton-Jacobi
4.1 A equação de Hamilton-Jacobi para a função principal de Hamilton
4.2 Exemplo: oscilador harmônico
4.3 A equação de Hamilton-Jacobi para a função característica de Hamilton
4.4 Separação de variáveis na equação de Hamilton-Jacobi
4.5 Variáveis ângulo e ação em sistemas de um grau de liberdade
4.6 Variáveis ângulo e ação para sistemas completamente separáveis
4.7 O problema de Kepler em variáveis ângulo e ação
4.8 Teoria de Hamilton-Jacobi, ótica geométrica e ondas mecânicas.
5. Introdução à teoria de caos
5.1 Movimento periódico: espaço de fases.
5.2 Perturbações: o teorema Kolmorogov-Arnold-Moser.
5.3 Atratores, pontos de equilíbrio, ciclos limite.
5.4 Movimento caótico e exponentes de Liapunov.
5.5 Mapas de Poincaré, o hamiltoniano de Hénon-Heiles.
5.6 O oscilador harmônico amortecido sob a influência de uma força externa: bifurcações. O oscilador paramêtrico:
ressonância.
5.7 Dinâmica de sistemas discretos: o mapa logístico.
6. Sistemas Contínuos
6.1. Corda continua como limite da corda com N contas. Integrais de Fourier, modos normais. Energia. Equação de
movimento: propriedades. Oscilações forçadas: função de Green.
6.2. Ondas em duas e três dimensões: separação de variáveis, integrais de Fourier, modos normais.
6.3 A formulação lagrangiana para sistemas contínuos: equações de Euler-Lagrange. O tensor de energia-impulsão:
leis de conservação. Formulação hamiltoniana. Teorias de campos relativísticas. O teorema de Noether.
Bibliografia do curso:
- D. Tong, Classical Dynamics, Notas de aula.
- L. Hand e J. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge U. Press, 1988.
- L. D. Landau e E. M. Lifshitz: Mechanics, Pergamon, 1960.
- N. Lemos, Mecânica Analítica, Livraria da Física, 2007.
- V. I. Arnold; Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd edition.
- H. Goldstein, C. Poole, J. Safko; Classical Mechanics, Pearson, 3rd edition, 2001.
Outras referências úteis:
- Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion; Classical Dynamics of Particles and Systems, 5th edition.
- Tom W.B. Kibble, Frank H. Berkshire; Classical Mechanics, 5th edition.
- M. V. Cougo-Pinto, C. Farina; Mecânica Clássica; notas de aula, UFRJ.
Avaliação:
- Provas:
P1 =
P2 =
PR =
PF =
Obs. A prova de reposição (PR) e a prova final (PF) compreendem toda a matéria do curso.
- A média parcial (MP) é a média aritmética das duas maiores notas entre P1, P2 e PR:
MP = (P1(ou PR) + P2(ou PR))/2,
se MP for maior ou igual a 7 --> Aprovado --> Nota final = MP
se MP for menor que 7 e maior ou igual a 4 --> deverá fazer a PF
se MP for menor que 4 --> reprovado
- Para alunos que deverão fazer a PF, a média final (MF) será a média aritmética da MP e da PF:
MF = (MP + PF)/2
se MF for maior ou igual a 5 --> Aprovado --> Nota final = MF
se MF for menor que 5 --> Reprovado