สาระการเรียนรู้ที่ 13 ระบบสาการเชิงเส้นสองตัวแปร

1. สาระสำคัญ

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอาจพิจารณาจากกราฟของระบบสมการนั้น ซึ่งคำตอบของระบบสมการคือ จุดตัดของกราฟนั่นเอง แต่ถ้ากราฟใดไม่มีจุดตัดแสดงว่าระบบสมการนั้นไม่มีคำตอบ และถ้ากราฟของระบบสมการเป็นเส้นตรงเส้นเดียวกันแสดงว่าระบบสมการนี้มีหลายคำตอบ ซึ่งคำตอบเหล่านั้นก็คือจุดทุกจุดบนเส้นตรงนั่นเอง

นอกจากการใช้กราฟหาคำตอบของระบบสมการแล้ว เราอาจจะใช้สมบัติการบวกและสมบัติการคูณมาช่วยในการหาคำตอบของระบบสมการก็ได้

2. ตัวชี้วัดชั้นปี

1. อ่านและแปลความหมายกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและกราฟอื่น ๆ (ค 4.2 ม. 3/4)

2. แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและนำไปใช้แก้ปัญหาพร้อมทั้งตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคำตอบ (ค 4.2 ม. 3/5) 3. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา (ค 6.1 ม. 3/1)

4. ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆได้อย่างเหมาะสม (ค 6.1 ม. 3/2)

5. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม (ค 6.1 ม. 3/3)

6. ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนำเสนอ ได้อย่างถูกต้อง และชัดเจน (ค 6.1 ม. 3/4)

7. เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์และนำความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ (ค 6.1 ม. 3/5)

8. มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ (ค 6.1 ม. 3/6)

3. จุดประสงค์การเรียนรู้

1. บอกความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรได้ (K)

2. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และแปลความหมายกราฟของระบบสมการได้ (K)

3. หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟที่กำหนดให้ได้ (K)

4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคำตอบจากการคำนวณและการแก้ปัญหาได้ (K)

5. ทำงานเป็นระเบียบเรียบร้อย รอบคอบ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง (A)

6. การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย การนำเสนอและการเชื่อมโยงหลักการความรู้ทางคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น (P)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการที่มีตัวแปรสองตัว เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นหนึ่งและไม่มีการคูณกันของตัวแปร

โดย คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร คือ ค่า x และ y ที่ทำให้สมการเป็นจริง

เช่น x+y = 6 ถ้า x และ y เป็นจำนวนนับ จะได้คู่อันดับ (x,y) ดังนี้

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) วิธีการคิดคลิกที่นี่

เมื่อนำคู่อันดับเหล่านี้มาเขียนกราฟจะได้ 5 จุดเรียงกันให้อยู่ในแนวเส้นตรง และถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง กราฟของสมการ x+y = 6 จะเป็นเส้นตรงดังรูป

กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

โดย จากสมการ y = mx + b เมื่อ m เป็นความชันของเส้นตรง และ b เป็นระยะที่กราฟตัดแกน y เมื่อ x = 0

เช่น y = 2x -3

ความชันของเส้นตรงคือ 2

และกราฟ ตัดแกน y ที่จุด (0,3) วิธีการคิดคลิกที่นี่

เมื่อ A,B,C เป็นค่าคงตัว A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

พิจารณาสมการ Ax+By+C = 0

จัดให้อยู่ในรูป y = mx+b จะได้

y = -A x - C

B B

ดังนั้น ความชันของเส้นตรง คือ -A

B

กราฟตัดแกน y ที่จุด (0,-C) วิธีการคิดคลิกที่นี่

B

จากสมการ y = mx+b สามารถนำมาเขียนกราฟเส้นตรง ในกรณีต่างๆ ได้ 6 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1 m > 0 และ b เท่ากับ 0

กรณีที่ 2 m > 0 และ b ไม่เท่ากับ 0

กรณีที่ 3 m < 0 และ b เท่ากับ 0

กรณีที่ 4 m < 0 และ b ไม่เท่ากับ 0

กรณที่ 5 m = 0 และ b ไม่เท่ากับ 0

กรณที่ 6 m = 0 และ b เท่ากับ 0

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดสมการเส้นตรง 2x-y = 5 จงหาความชันของเส้นตรงและจุดที่เส้นตรงตัดแกน x

และแกน y

ความชันของเส้นตรง คือ 2

เส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (5 , 0)

2

เส้นตรงตัดแกน y ที่จุด (0,-5) วิธีคิดคลิกที่นี่

ตัวอย่างที่ 2 จากสมการ 3y-2x = -6 และ 2x+y = 8 จงหาความชันของเส้นตรงพร้อมทั้งเขียนกราฟบนแกนเดียวกัน

ความชันของเส้นตรง ของ 3y-2x = -6

คือ 2

3

ความชันของเส้นตรง ของ 2x+y = 8

คือ -2 วิธีคิดคลิกที่นี่

เขียนกราของสมการได้ ดังนี้

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร