2021年度幾何学特論III

下記の要領で集中講義を行います。

科目：幾何学特論III

講師：三鍋聡司氏（東京電機大学）

日時：2022/1/27（木）, 28（金）, 31（月）, 2/1（火）いずれも14時から

方法：Zoomによる同時双方向配信および、その録画のオンデマンド配信

資料はGoogle Classroomにて配布します。クラスコード：pekzhz7（千葉大のGoogle accountで要ログイン）

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題目：複素鏡映群の平坦不変式

アブストラクト：有限実鏡映群 (= 有限 Coxeter 群) の軌道空間上に, ある種の自然な平坦構造が存在することは, 齋藤 [9], 齋 藤・矢野・関口 [8] による基本的な結果である. この平坦構造とは, 複素多様体の正則接束上に, 平坦計量, 可 換で結合的な積構造, その積構造の平坦な単位元, オイラー場, という 4 つ組が与えられ, それらが様々な整合 性条件を満たすものである. 後に Dubrovin [1] は, この構造を Frobenius 多様体という名で公理化した. この 平坦構造の帰結として, 有限実鏡映群の不変式環には平坦不変式から成る特別な生成系 (平坦生成系と呼ぶ) が 存在することが従う.

擬鏡映 (複素ベクトル空間のある超平面を点ごとに固定するような位数有限の線型変換) で生成される複素 一般線形群の有限部分群を有限複素鏡映群と呼ぶ (分類は Shephard–Todd [11]). 有限実鏡映群の平坦構造を 有限複素鏡映群に拡張することは自然な問題である. ここでは, “計量なしの平坦構造” (正確には Sabbah [7] で定義された Saito structure without metric というもの) を考える. これは, 平坦計量を出発点とするのでは なく, 平坦で捩れのない接続 (計量がある場合の Levi–Civita 接続に当たるもの) を出発点とする平坦構造であ り, 一言で言えば Frobenius 多様体から計量に関する情報を忘れたものである. 有限複素鏡映群の中に duality groups (この名称は Orlik–寺尾 [6] によるが, 文献によっては well-generated groups と呼ばれることもある) と 呼ばれるクラスがあり, 有限 Coxeter 群もこの中に含まれる. 近年, 加藤・眞野・関口 [2] は, duality group の 軌道空間上に “計量なしの平坦構造” が存在することを示した. その帰結として, duality group の不変式環に 平坦生成系が存在することが従う.

最近, 佐竹 [10] は “good basic invariants” という有限複素鏡映群の不変式環の生成系を導入し, 有限実鏡映 群の場合にそれが平坦生成系を与えることを示した. さらに, Frobenius 多様体の積構造が, それらの Taylor 係 数で表されることを示した. 同様の結果は, duality group に対しても成り立つ [5]. 本講義では, duality group の軌道空間上の “計量なしの平坦構造” の構成と不変式環の平坦生成系の存在について, 論文 [3, 4] に従って解 説し, 時間が許せば佐竹らによる最近の進展についても概観する. 予備知識としては幾何学と代数学の初歩の 知識を仮定するが, 極力基本的な概念から説明するつもりである.

References

[1] Dubrovin, Boris, Geometry of 2D topological field theories, in Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terme, 1993), 120–348, Lecture Notes in Math. 1620, Springer, Berlin, 1996.

[2] Kato, Mitsuo; Mano, Toshiyuki; Sekiguchi, Jiro, Flat structure on the space of isomonodromic deformations, SIGMA 16 (2020), 110, 36 pp.

[3] Konishi, Yukiko; Minabe, Satoshi; Shiraishi Yuuki, Almost duality for Saito structure and complex reflection groups, J. Integrable Syst. 3 (2018), no. 1, xyy003, 48 pp.

[4] Konishi, Yukiko and Minabe, Satoshi, Almost duality for Saito structure and complex reflection groups II: the case of Coxeter and Shephard groups, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 16 (2020), 721–754.

[5] Konishi, Yukiko and Minabe, Satoshi, Satake’s good basic invariants for duality groups, Preprint 2020.

[6] Orlik, Peter and Terao, Hiroaki, Arrangements of hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 300. Springer-Verlag, Berlin, 1992. xviii+325 pp.

[7] Sabbah, Claude, Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, EDP Sciences, Les Ulis; CNRS Éditions, Paris, 2002. xvi+289 pp.

[8] Saito, Kyoji; Yano, Tamaki; Sekiguchi, Jiro, On a certain generator system of the ring of invariants of a finite reflection

group, Comm. Algebra 8 (1980), no. 4, 373–408.

[9] Saito, Kyoji, On a linear structure of the quotient variety by a finite reflexion group, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 29 (1993), no. 4, 535–579. (Preprint version: RIMS-288, Kyoto Univ., Kyoto, 1979.)

[10] Satake, Ikuo, Good basic invariants and Frobenius structures, Preprint, 2020.

[11] Shephard, G. C. and Todd, J. A., Finite unitary reflection groups, Canadian J. Math. 6 (1954). 274–304.

世話人：梶浦宏成

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