El río Pregel, a su paso por la ciudad alemana de Königsberg (hoy Königsberg es rusa y se llama Kaliningrado), forma dos islas. En el siglo dieciocho ambas islas estaban conectadas entre sí y con las dos orillas del río mediante siete puentes. Se dice que sus habitantes intentaron durante años encontrar un camino que cruzase cada puente una y solo una vez y que volviese al punto de partida. Nunca lo encontraron. La cuestión era: ¿existe tal camino?
El problema fue resuelto por Euler en una memoria que presentó en 1735 en la Academia de San Petersburgo. Trataba el tema en una forma mucho más general, de modo que resolvía el problema de los siete puentes como un caso particular. Supuso el inicio de la teoría de grafos y el comienzo de la topología, un nuevo tipo de geometría menos preocupado por lo cuantitativo y más por las propiedades cualitativas de las formas.
A partir de un dibujo como el de la izquierda, en el que se pueden ver los siete puentes sobre el Pregel, Euler eliminó todo lo que no fuese esencial para el problema. Convirtió las cuatro zonas A, B, C y D en sendos puntos (llamados también vértices o nodos), y cada uno de los puentes (marcados con minúsculas) en líneas (oaristas) que conectan los nodos. De esta manera obtuvo el gráfico de la derecha.
La idea básica de su razonamiento es de una sencillez pasmosa: para cumplir con las condiciones del problema, si uno llega a un nodo a través de una arista, debe salir de él por una arista distinta, lo que nos lleva a que en cada nodo el número de aristas que llegan a él debe ser par, cosa que en el caso de los puentes de Königsberg no es cierta: a los nodos B, C y D llegan tres aristas, mientras que al nodo A llegan cinco. Así de sencillo. Así de genial.
La Tierra y la cinta
Supongamos que hemos rodeado la Tierra por su ecuador con una cinta. Si ahora quisiésemos levantar la cinta un metro a lo largo de todo el recorrido, ¿cuánta cinta deberíamos añadir para completar la circunferencia? ¿Y si hiciésemos lo mismo en Júpiter?
Es una trivialidad. La gracia reside en el resultado.
Eduardo Javier Salinas da la solución:
El tamaño de la cinta que rodea el ecuador sería:
P = 2πr
donde r es el radio de la Tierra.
Cuando elevamos la cinta 1 metro obtenemos:
P = 2π(r + 1)
P = 2πr + 2π
es decir, que la cinta que hay que añadir es 2π metros.
Como el resultado es independiente del valor de r, es válido tanto para la Tierra como para Jupiter.
Dos son las sorpresas: primero, que para levantar la cinta un metro a lo largo de toda la circunferencia de la Tierra bastan 2π metros, es decir, tan solo 6,28 metros. La segunda, que da igual que estemos en la Tierra, en Júpiter, o sobre una naranja: la cantidad de cinta que es necesario añadir siempre es la misma.
Un paseo tibetano
Un monje sale a las ocho de la mañana de su monasterio tibetano y emprende el descenso hasta el pueblo más próximo. En el camino se detiene en diversas ocasiones para contemplar el paisaje o recoger plantas medicinales. Su velocidad varía, pues a veces, concentrado en sus pensamientos, apenas si camina, mientras que otras, impulsado por la pendiente, camino a un ritmo francamente vivo. Por fin llega al pueblo y decide pasar allí la noche.
Al día siguiente, a las ocho de la mañana, emprende el regreso al monasterio, que se ve refulgir en lo alto de la montaña. Cargado como va y cuesta arriba, es de entender que su paso sea mucho más lento, aunque igualmente variable, pues el monje salpica de nuevo el trayecto con diversas paradas y cambios de ritmo.
La pregunta es la siguiente: ¿existe algún punto del camino por el que el monje pase exactamente a la misma hora en la bajada y en la subida?
Solución:
Sí lo hay.
1. Una forma muy sencilla de verlo es imaginar que en vez de un monje tenemos dos, y que ambos parten a la vez, uno del pueblo y el otro del monasterio. Es evidente que lleven el ritmo que lleven, en algún sitio se encontrarán.
2. Más técnicamente: sea f(t) la función que nos da la posición del monje en su descenso en función del tiempo t, y sea g(t) la función que nos da su posición en el ascenso. Restando ambas funciones tenemos una nueva función h(t) = f(t)-g(t) que toma valores de signo contrario en los extremos. Aplicando el teorema de Bolzano, existe un valor t0 para el que h(t0)=0, de donde se tiene que f(t0)=g(t0). Listo.
3. Una gráfica de ambas funciones hace evidente la solución del problema:
José Hernández (4-8-2003) lo explica así: "una respuesta pa' lo del monje tibetano, dibuja en el primer cuadrante (creo ke así se le llama: YX) dos curvas ke tengan un mismo dominio (ke sería el tiempo) y recorrido (ke seria l'altura la montaña) de manera ke se forma una especie de X, es la prueba de ke sí existe ese punto ya ke ambas curbas siempre se cruzan".
Nueve puntos
Se trata de unir los nueve puntos que ves en la figura mediante cuatro segmentos dibujados sin levantar el lápiz del papel.
La solución:
Hay que ver cómo saliéndose del cuadrado imaginario formado por los nueve puntos podemos resolver el problema:
La cuestión ahora es: ¿se puede mejorar?, es decir, ¿se puede hacer con menos de cuatro segmentos? Pues sí, siempre y cuando consideremos que los puntos no son ideales, es decir, con grosor: en tal caso basta con tres segmentos:
Pero se puede hacer aún mejor: si los puntos están lo suficientemente juntos y el lápiz o lo que utilicemos es lo suficientemente ancho, entonces con un solo trazo (gris en el dibujo) podremos barrer todos los puntos.
Otra solución es la propuesta por Francesc: si cogemos la hoja y la doblamos para formar un cilindro de forma que las tres columnas de puntos coincidan, nos bastará con un único segmento...
Ante tanta solución quizá alguien no sepa decidir cuál es la buena. La cuestión es que todas son igualmente correctas, pues la solución de un problema depende del ámbito en el que el problema se plantea. Este ámbito marca unos límites cuya determinación es muchas veces inconsciente. En el caso que nos ocupa, y sin que nadie nos diga nada, asumimos que los puntos del enunciado son puntos matemáticos, puntos ideales, cuando lo cierto es que en el dibujo del enunciado lo que se pueden ver son círculitos. Pero claro, como estamos en una página de matemáticas, nuestro cerebro está en modo "matemáticas" y tiende a interpretar cuanto ve en los términos habituales de los problemas matemáticos.
Otro asunto interesante es el de la primera solución: una vez vista parece completamente trivial, pero contiene un elemento que la hace muy difícil de lograr: se sale del cuadrado imaginario formado por los nueve puntos. ¿Por qué es tan raro que se nos ocurra este "truco"? Según los psicólogos de la Gestalt se debe a lo que llaman principio de cierre, por el cual tendemos a buscar la integridad de las cosas que observamos (en el caso del problema, encerrando los nueve puntos en un cuadrado imaginario).
Conclusiones:
Las tres llaves de luz
En el sotano hay tres llaves de luz y en el tercer piso estan las bombillas que se encienden con esas cada una de esas llaves. El problema es que no se sabe cual llave corresponde a cada foco y la única manera de averigüarlo sería usando la llave y subir al tercer piso para comprobar. ¿Cuál es el procedimiento para subir la menor cantidad de veces al tercer piso y conocer que llave le corresponde a cada bombilla?
Solución
Cerramos dos de los interruptores durante un tiempo, y luego abrimos uno de los dos que hemos cerrado. Subimos al tercer piso y observamos:
fuente: www.epsilones.com