Entre los griegos se consideraba que la forma correcta de resolver los problemas geométricos (ellos no usaban ecuaciones como nosotros: aún no había nacido Descartes) era utilizando únicamente dos intrumentos: la regla (sin graduar) y el compás.
La culpa es muy posible que sea de Platón, pues consideraba “por alguna mística razón solo conocida por él y su Dios geómetra” que resolver los problemas geométricos por medios mecánicos, es decir, cualquier otro que no fuese la regla y el compás, era vulgar y degradante. Así lo cuenta Plutarco en sus Vidas paralelas: “...Platón se indispuso e indignó contra ellos [Eudoxo y Arquitas], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la geometría con trasladarse de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales...”.
Uno puede pensar que esta obsesión de Platón por la regla y el compás era un puro capricho, y puede que acierte: posiblemente fue a causa del valor casi divino que daba a las ideas por lo que concedió especial importancia a unos objetos con una simetría tan perfecta como son rectas y circunferencias. Además, todo hay que decirlo, también debió influir cierto aristocrático desprecio por su parte hacia todo lo que sonase a oficio artesano.
Sin embargo, por aquel entonces el platonismo no era la única forma de pensar. La escuela de Demócrito había introducido el atomismo en geometría de tal modo que consideraban los segmentos, las superficies y volúmenes constituidos por una cantidad finita de átomos. Resulta que este método, aunque poco riguroso, permitía encontrar fácilmente nuevos resultados, y un futuro esplendoroso se abría para la geometría.
Pero no fueron por ahí los tiros. Los pensadores griegos se encontraron con dos métodos a su disposición: uno riguroso, pero estéril, y otro, el atomista, informal pero fértil. ¿Quién ganó? Pues fue el idealismo platónico el que venció al materialismo atomista, lo cual solo se explica si pensamos que las matemáticas griegas fueron el producto de una clase ociosa basada en la esclavitud y más interesada en la contemplación que en la invención: ¿para qué cambiar el mundo si a ellos les iba de miedo?
En fin, que armados con tan corto arsenal los griegos se lanzaron al estudio de la geometría. Y no les fue tan mal, aunque en su camino se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. La razón solo se supo dos mil años después: eran irresolubles. Pero esa, como dijo el poeta, es otra historia.
Como se cuenta en Geometría con regla y compás, en su afán de estudiar la geometría con la única ayuda de estos dos instrumentos, los griegos se encontraron con tres problemas que fueron incapaces de resolver. Y lo cierto es que nada en su descripción hace sospechar grandes dificultades: la cuadratura del círculo trata de construir un cuadrado con la misma superficie que un círculo dado, mientras que la trisección del ángulo busca dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La duplicación del cubo tiene su propia leyenda: en tiempos de Pericles una epidemia de peste estaba diezmando la población. Los atenienses mandaron una delegación al oráculo de Delfos para preguntarle acerca de qué podían hacer para aplacar a los dioses. El Oráculo les contestó que debían duplicar en tamaño el altar cúbico dedicado a Apolo. Los griegos se pusieron a la faena y construyeron un altar cúbico con el doble de lado. Pero la peste no cesó. Y es que al doblar el lado habían multiplicado el volumen por ocho, y no es eso lo que se les pedía...
Imposibles...
Caprichos divinos aparte, lo cierto es que los problemas descritos no parecen tan difíciles, ¿verdad? Sin embargo, los griegos, que sabemos fueron excelentes geómetras, fracasaron en sus intentos de resolverlos. ¿Por qué? Pues muy sencillo: porque no se puede. Literalmente, los tres problemas describen tareas que son imposibles de realizar usando únicamente regla y compás.
Veamos por qué: cualquier operación que realicemos con una regla es equivalente a la resolución de una ecuación de primer grado, mientras que las realizadas con un compás equivalen a resolver ecuaciones de segundo grado, lo cual es lógico, pues con la regla dibujamos rectas, objetos que se expresan mediante ecuaciones de primer grado, y con el compás circunferencias, las cuales se expresan mediante ecuaciones de segundo grado. Dicho de otro modo: con la regla y el compás podemos realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y raíces de índice igual a una potencia de dos.
Pero resulta que la resolución de la cuadratura del círculo requiere conocer el valor del número π, que es un número trascendente (es decir, que no se puede obtener como solución de ninguna ecuación algebraica); resulta también que para trisecar el ángulo es necesario realizar raíces cúbicas, y que para duplicar el cubo necesitamos la raíz cúbica de dos. Y como el cálculo de π y de raíces cúbicas no es posible, por lo dicho anteriormente, utilizando únicamente regla y compás, nuestros tres problemas se quedan sin solución.
Y lo más tremendo es que alguno de los resultados que justifican la imposibilidad de estos problemas, como por ejemplo la trascendencia de π, solo se obtuvieron veintitantos siglos después de que se planteasen.
...aunque no tanto
¿Quiere decirse entonces que no podemos resolver unos problemas en apariencia tan sencillos? No: los tres famosos problemas de la geometría griega solo son irresolubles si nos limitamos a la regla sin graduar y al compás. Pero las dificultades se desvanecen cuando podemos utilizar otro tipo de curvas o hacer marcas sobre nuestra regla. De hecho, no todos los griegos se plegaron a dicha limitación, y fueron capaces de resolver los problemas de marras utilizando nuevas y sorprendentes curvas, de las que a continuación doy algunos ejemplos:
¿Entonces?
Si ya los griegos los resolvieron, ¿dónde reside la importancia de estos tres problemas? Pues reside precisamente en que, gracias a la limitación de la regla y el compás, los matemáticos se han visto obligados a investigar nuevos campos en busca de nuevas herramientas que los resolviesen o de más profundas teorías que explicasen su imposibilidad. Y es que no hay nada como las dificultades para aguzar el ingenio.
De todas formas, no todo han sido aciertos: la aparente sencillez de la cuadratura del círculo ha obsesionado durante siglos a grandes y pequeñas mentes y dado lugar a todo tipo de extravagancias (ver como ejemplo el caso Hobbes). Por eso dijo Underwood Dudley que "Uno de los inesperados efectos beneficiosos de la televisión es que la gente ahora la ve en vez de producir panfletos cuadrando el círculo."
Aunque, la verdad, yo preferiría que el personal siguiese con los panfletos.
Para terminar, una curiosidad: la duplicación del hipercubo tetradimensional podría hacerse con regla y compás, pues en cuatro dimensiones lo que hace falta no es la raíz cúbica de dos, sino la raíz cuarta.
Una de las aportaciones más importantes de Pitágoras fue su descubrimiento de que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos guardan entre sí relaciones numéricas simples: por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otrodo pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.
F. Gaffurio, Theorica musica.
Posiblemente fue este el primer caso de descripción matemática de un proceso físico, pero para Pitágoras fue mucho más: razonó que si la música se podía explicar mediante cocientes de números enteros, el universo entero también podría explicarse con ellos.
Dicho de otra manera, Pitágoras creía haber encontrado el secreto del universo, la gran fórmula mágica, el lenguaje de los dioses. Este exceso de optimismo tuvo dos consecuencias negativas. La primera fue que los pitagóricos se convirtieron en una especie de secta, con ceremonias secretas, y que confirieron a los números valores mágicos (lo cual, por otra parte, ya hacían anteriormente los mesopotámicos).
La segunda fue incluso peor: estaban tan convencidos del poder explicativo de los cocientes de números enteros que cuando descubrieron la existencia de números que no se podían expresar así, por ejemplo la raíz cuadrada de dos o π, los vieron como una auténtica aberración, como algo que en realidad no podía existir. Hoy los llamamos irracionales.
Habitualmente, las relaciones numéricas entre las notas musicales se expresan en función de su frecuencia (vibraciones por segundo), y tomando como base el do bajo, según se indica en la siguiente tabla:
De esta manera, el intervalo de quinta (el paso de do a sol), se obtiene multiplicando por 3/2; el intervalo de cuarta (paso de do a fa) multiplicando por 4/3, y así para los demás.
Obsérvese que si la longitud de la cuerda aumenta en cierta proporción, la frecuencia disminuye en esa misma proporción. El sentido físico de esto es el siguiente: la longitud de la cuerda es la mitad de la longitud de onda que genera al ser pulsada. Como v = λ·ν, donde v es la velocidad de propagación de la cuerda, λ la longitud de onda y ν la frecuencia, se tiene que si usamos cuerdas de las mismas características (y por tanto con la misma velocidad de propagación), la longitud de la cuerda y la frecuencia serán magnitudes inversamente proporcionales.
El gran valor de la escritura, la universalización del acceso al conocimiento, es, a la vez, su gran debilidad cuando las informaciones escritas son, por unas u otras causas, de carácter confidencial.
Lo primero que inventamos para evitar que ciertos mensajes llegasen a ojos no deseados fue la esteganografía, consistente en ocultar el mensaje a las miradas curiosas, como cuando escribían el texto en la cabeza rapada del mensajero y esperaban a que le creciese el pelo.
Sin embargo, pronto se vio que los métodos de ocultación tenían el gran inconveniente de que una vez el engaño era descubierto el mensaje quedaba completamente expuesto. Por eso surgió la criptografía, "el arte de escribir con clave secreta", que consiste en ocultar no el mensaje en sí, sino el significado. De esta manera, aunque el mensaje fuese interceptado, su contenido aún estaría a salvo.
Muchos son los sistemas de encriptación. Los clásicos pueden clasificarse en sistemas de transposición y de sustitución, siendo estos últimos de dos tipos: códigos y cifrados.
El significado se oculta cambiando simplemente el orden de las letras del mensaje. Por ejemplo, podemos coger primero todas las letras que ocupan posiciones pares y después escribir las de las posiciones impares. De esta manera, la fraseesto es un mensaje de ejemplo se convertíría en SOE NMNAED JMLET SU ESJ EEEPO.
La idea es sustituir los elementos del texto plano (el mensaje original) por otros que formen el texto encriptado. Si lo que se sustituyen son las letras se llama cifrado, mientras que si lo que se sustituyen son palabras o expresiones enteras, se llamacódigo.
Veamos algunos de los cifrados más famosos:
Cifrado César
Utilizado, de ahí su nombre, por Julio César para comunicarse con sus oficiales, consiste en sustituir cada letra del mensaje por la que está n posiciones más adelante o atrás en el alfabeto. Si n = 3, la a se sustituiría por la D, la b por E, lac por la F y así sucesivamente. De este modo, la palabra epsilones se transforma en HSVLÑRPHV.
En los sistemas de encriptación se suele distinguir entre el algoritmo o procedimiento general y la clave, que sirve para singularizar el resultado del algoritmo. En el caso del cifrado César, el algoritmo sería la regla por la cuál cambiamos cada carácter por uno que está n posiciones más adelante, mientras que la clave sería el valor concreto utilizado para n.
Lo malo de este sistema es que, si se sabe que se está utilizando, solo permite 27 sustituciones distintas (tantas como letras tiene el alfabeto), con lo que su descifrado es trivial. Para complicar un poco la cosa se puede utilizar, en vez de una cifra, dos, o más. Así, si la clave es 31, se sustituirá la primera letra por la que esté tres posiciones por delante, la segunda por la que esté una posición más avanzada, la tercera por la que esté tres posiciones por delante, y así sucesivamente.
El cifrado César es fácilmente matematizable: ver el Apéndice.
Sustitución monoalfabética
A cada letra del alfabeto se le asigna un signo distinto, que puede ser otra letra o cualquier otra cosa. Por ejemplo, según la tabla siguiente, la palabra matematicas se transformaría en 9XD?9XD3RXM.
Está claro que lo mejor es que la tabla sea completamente aleatoria, pero esto obliga a conocer la tabla completa. Una alternativa es la utilización de una clave para formar las equivalencias. Por ejemplo, si la clave es EPSILON se escribirían a continuación el resto de las palabras del alfabeto en su orden habitual pero sin repetir las ya utilizadas. La tabla quedaría de la siguiente manera:
y la palabra matematicas se cifraría como VEDLVEDQSEC.
Análisis de frecuencias
Podría pensarse que tales sistemas son eficientes, pero resultan tremendamente fáciles de descifrar mediante una técnica llamada análisis de frecuencias, desarrollada primeramente por los árabes cuando estaban buscando la frecuencia con la que ciertas palabras aparecían en el Corán para dilucidar la cronología de las palabras del Profeta.
La idea fundamental es que no todas las letras aparecen con la misma frecuencia en los textos, sino que algunas aparecen más a menudo que otras. Contando las signos del texto cifrado y ordenándolos de mayor a menor frecuencia podemos establecer conjeturas acerca de qué letra corresponde a cada signo. El análisis se completa con la búsqueda de palabras frecuentes como artículos y preposiciones. Si además conocemos o sospechamos de alguna palabra que deba aparecer en el mensaje, mejor que mejor.
Para comprender en detalle cómo funciona este método en el Laboratorio se encuentra un ejemplo de descifrado por análisis de frecuencias.
Dos ejemplos de este tipo de análisis lo tenemos en los cuentos de Poe y Doyle El escarabajo de oro y La aventura de los bailarines. El cuento de Conan Doyle, en el que el criptoanalista es el mismísimo Sherlock Holmes, se caracteriza porque las letras del texto se sustituyeron por unos muñequitos danzantes:
Para evitar el análisis de frecuencias se introdujeron algunas mejoras, como la inclusión de caracteres nulos que no se traducían por nada, o la introducción de errores premeditados en el deletreado de las palabras para confundir al criptoanalista.
Una mejora importante fue el cifrado de sustitución homofónico, en el que cada letra se sustituye por varios caracteres distintos en cantidad proporcional a su frecuencia de uso, de modo que si una letra se usa el doble de veces que otra, la primera será sustituida por el doble de caracteres que la segunda. De esta manera el análisis de frecuencias queda anulado.
Sustitución polialfabética
Leon Alberti propuso usar más de un alfabeto para encriptar cada mensaje. Vigenère desarrollaría esta idea hasta dar con un nuevo método, al que llamaron Le chiffre indéschiffrable (“La cifra indescifrable”). La idea es sencilla: escribimos el alfabeto una vez para cada letra empezando precisamente por esa letra. La tabla de Vigenère quedaría así:
El cifrado se haría de la siguiente manera: supongamos que la clave es CABEZA, y que el texto a traducir esmatematicas. Para traducir la primera letra de matematicas, como la primera letra de la clave es C utilizaremos la cuarta fila de la tabla para traducir, precisamente la que empieza por C, en la que vemos que a la m le corresponde la Ñ. Como la segunda letra de la clave es A, utilizamos para cifrar la segunda fila de la tabla, que deja la a como A. Completando el proceso, tenemos que matematicas se transforma en ÑAUILAVIDER. Observese que en este sistema la misma letra puede transformarse en letras distintas.
Le chiffre indéschiffrable es inmune al ataque por análisis de frecuencias y fue considerada indescifrable durante mucho tiempo. Sin embargo, Charles Babbage, uno de los padres de la informática, fue capaz de romperla al encontrar que si la clave tenía n letras, el cifrado se repetía cada n letras.
Claves de un solo uso
Una variación del cifrado de Vigenère consiste en utilizar una clave tan larga como el propio mensaje para evitar su carácter cíclico. Pero también se puede romper: su debilidad estriba en la utilización de claves con significado, lo que permite tener una idea de cuándo la intuición de uno va por buen camino.
La forma de resolver este problema es evidente: en vez de utilizar claves con significado hay que utilizar claves aleatorias de un solo uso. Si emisor y receptor tiene ambos un cuaderno de claves común, podrán cifrar y descifrar los mensajes utilizarán las sucesivas claves contenidas en cada una de las hojas del cuaderno. Así surgió en la segunda década del siglo XX el one time pad-cipher ("cifrado con cuaderno de claves de un solo uso") que ofrece por primera vez un sistemaabsolutamente seguro.
Sin embargo, el sistema tiene dos peros importantes. Por un lado, si las necesidades criptográficas son grandes, es decir, si es mucha la cantidad de información que hay que proteger, generar claves aleatorias suficientes supone un coste muy elevado. Por otro, y este ha sido el gran problema de la criptografía a lo largo de su historia, está el problema de la distribución de las claves: para poder compartir un secreto, el mensaje, es necesario tener previamente un secreto compartido: la clave. Pero si aquel que no queremos que capture nuestros mensajes se hace con el cuaderno de claves será mucho peor que si no hubiésemos encriptado en absoluto, porque nosotros creeremos que estamos comunicándonos en secreto cuando no es así.
Con la Segunda Guerra Mundial la criptografía se mecaniza. Máquinas como Enigma proporcionan códigos segurísimos que máquinas como la Bomba de Turing se encargan de descifrar. De hecho, una de estas máquinas, Colossus, es considerada el primer ordenador modeno.
Sin embargo, el problema central seguía siendo el mismo: la distribución de claves, o cómo transmitir la clave sin que esta sea interceptada.
Este problema hoy está resuelto con una idea genial: el uso de claves asimétricas. Pero esto es ya otra historia.
Apéndice: las matemáticas del cifrado César
Si x es la posición de la letra que queremos cifrar, la posición de la nueva letra vendrá dada por la fórmula:
f(x) = (x + n) mod p,
donde
p = longitud del alfabeto (27 para el castellano por ejemplo),
x = número asociado a la letra (1 para la a, 2 para la b, etc),
n = clave, dependiendo de la cual cambiará el código una vez codificado.
Por ejemplo, si codificamos la palabra clave tomando a como la posición 1 y haciendo n = 5, se tiene:
c → f(3) = (3 + 5) mod 27 = 8 → h
l → f(12) = (12 + 5) mod 27 = 17 → p
a → f(1) = (1 + 5) mod 27 = 6 → f
v → f(23) = (23 + 5) mod 27 = 1 → a
e → f(5) = (5 + 5) mod 27 = 10 → j
Para descifrar algo tan sencillo, utilizamos la fórmula inversa de aquella que hemos utilizado para cifrar (estas funciones siempre han de ser inyectivas): f(x) = (x -n) mod p.
fuente: www.epsilones.com