Este minicurso foi ministrado no III Encontro da Pós-Graduação em Matemática da UFBA, em colaboração com Paulo Varandas (UFBA)
Resumo:
Podemos dizer que a área de sistemas dinâmicos teve seu nascimento
com os trabalhos marcantes de Henri Poincaré no início do século XX
e o problema dos 3 corpos na busca de responder a seguinte questão:
o sistema solar é estável?
Nascida da necessidade de compreender os fenômenos da mecânica celeste,
física, biologia entre outras áreas do saber, a área de sistemas dinâmicos
permanece ainda como uma área interdisciplinar, de conexão entre outras
áreas do saber como a Álgebra e a Análise, a Topologia e a Geometria.
Avançando na história pelos trabalhos de Poincaré, Denjoy, Sharkovski,
Smale e Palis, entre outros, pretendemos explicar como algumas das
idéias de como surgiu a noção de Caos e de como este tem vindo
a ser 'domado' ao longo dos anos.
Este minicurso introdutório é direcionado a alunos de graduação e
de mestrado, sendo que os pré-requisitos se resumem a conhecimentos
básicos de funções de variável real e de álgebra. Durante o minicurso serão
deixados alguns exercícios auxiliares e os alunos vão contar com um
monitor para tirarem dúvidas.
Conteúdos por aula:
1. Início da história, Poincaré e o problema dos 3 corpos, caoticidade, expansividade e conjecturas de Palis e Smale
2. Aplicações do intervalo e do círculo, período 3 implica caos,
número de rotação e teoremas de Denjoy e Poincaré
3. Estabilidade de pontos fixos de aplicações do intervalo,
conjugações topológicas e primeiras ideias de estabilidade,
aplicações expansoras (ordem e caos)
4. Aplicações à teoria dos números e combinatória: problemas de
equidistribuição em expansão decimal e frações contínuas, aplicação
de Gauss e a teoria ergódica como ferramenta
5. A praia de Copacabana e uma ferradura para a História,
estabilidade estrutural e perspectiva(s) futura(s) da teoria
Lista de exercícios: As listas de exercício do curso encontram-se anexadas abaixo.