Cálculo C - MATA04

Ementa

Equações diferenciais ordinárias e sistemas de equações diferenciais lineares. As integrais impróprias e a transformação de Laplace. A resolução de equações diferenciais e de sistemas de equações diferenciais pelas transformadas de Laplace. As séries numéricas e as séries de potências. A resolução de equações diferenciais por séries de potência. Introdução à teoria qualitativa.

Conteúdo programático

Equações diferenciais de primeira ordem

Modelamentos matemáticos: a descrição de fenômenos por equações diferenciais. A noção de EDO e a definição de solução de uma EDO.
O problema de Cauchy, os campos de direções, as equações diferenciais exatas, o teorema da existência e da unicidade de soluções e os fatores integrantes.
O método de separação de variáveis. As equações homogêneas e as equações redutíveis a homogêneas. Famílias de curvas planas e as trajetórias ortogonais (em coordenadas cartesianas e polares).
As equações lineares (de uma variável real) e as equações de Bernoulli. (A equação de Riccati.) A equação de Clairaut e as soluções singulares. Diversas aplicações.

Equações diferenciais de ordem superior

A redução da ordem das equações diferenciais.
As equações lineares de segunda ordem. A aproximação de uma equação explícita de segunda ordem por círculos de curvatura ou por parábolas osculatrizes. A teoria das equações lineares de segunda ordem (incluído o teorema da dimensão do espaço das soluções de equações lineares homogêneas de segunda ordem). O sistema fundamental de soluções das equações lineares homogêneas. O método de d’Alembert. As equações lineares não homogêneas e o método de Lagrange. As equações de Euler. Modelamento de circuitos elétricos e de sistemas mecânicos (osciladores harmônicos).

Os sistemas de equações diferenciais

A resolução dos sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes mediante a resolução de uma equação diferencial de segunda ordem.
A resolução dos sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes mediante a identificação das direções invariantes de operadores lineares associados.
A resolução dos sistemas de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes mediante a identificação das direções invariantes de operadores lineares associados.

Outras ferramentas para a resolução de equações diferenciais.

As integrais impróprias.
A transformação de Laplace. A decomposição das transformadas em frações parciais. O teorema da convolução. Aplicação à resolução de equações diferenciais e de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, de primeira e de segunda ordem.
As séries numéricas e os principais critérios de convergência. As séries com termos complexos.
As séries de potências de termos complexos. O teorema de Abel acerca do disco de convergência. A série geométrica e a série binomial. A expansão de funções em séries convergentes de potências.
A resolução de equações diferenciais por séries de potências. Os pontos singulares.
O método de Picard para o problema de Cauchy. Introdução à teoria qualitativa.
A matriz fundamental em sistemas com coeficientes constantes. A exponencial de matrizes (conceituação e propriedades). A forma de Jordan e o cálculo da exponencial de matrizes (diagonalizáveis, nihilpotentes ou soma de uma matriz diagonalizável com uma matriz nihilpotente).
Estudo qualitativo de equações lineares, baseado nos autovalores. Soluções, trajetórias e o plano de
- fases. Equação linear hiperbólica. O enunciado do teorema de Grobman-Hartman e sua aplicação.

Bibiliografia recomendada

COURANT, R.. Differential and integral calculus. 2. ed., volume II, 1950.
FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A.. Equações diferenciais aplicadas. IMPA, 1979.
[PI97] PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 17. ed., volume II, Porto: Lopes da Silva, 1997.

Exercícios (veja arquivos no final desta página)