Análise Funcional (verão)
Informações gerais
Atividades síncronas: Segunda, quarta, quinta e sexta entre 08:30 e 11:30, teremos encontros de vídeo conferência via a plataforma Google meet. (Link para aula)
Avaliações
Existirão 2 unidades e a nota final será a média dessas 2 unidades.
A menos de menção em contrário, toda sexta-feira as 12 horas serão colocados nessa página questões para serem entregues em um tempo estipulado no email do professor (tbnunes@ufba.br). Tais exercícios, com seus respectivos pesos, serão contabilizados na nota de cada unidade. Alunos com soluções idênticas são passíveis de obter nota zero na respectiva solução.
Cada unidade contará com uma prova que ocorrerá em um dia pré-determinado e no horário da aula síncrona. A entrega da prova se dará através do email do professor (tbnunes@ufba.br). Tais provas, com seus respectivos pesos, serão contabilizados na nota de cada unidade. Alunos com soluções idéntica são passíveis de obter nota zero na respectiva solução.
A nota de cada unidade será o resultado da média ponderada das notas obtidas com a prova e questões.
As soluções das provas e questões só serão aceitas escritas a mão com a respectiva assinatura do aluno em cada página.
Ementa
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologias fraca e fraca*. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.
Temas extras que podem aparecer no curso: Espaços vetoriais topológicos ...
Bibliografia básica
Reed, M. and Simon, B.- Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I e II. New York, Academic Press, 1980.
Walter Rudin. Functional Analysis. McGraw-Hill, 1991.
N. Dunford and J. T. Schwartz. Linear operators, vol. I e II. Interscience Publishers, New York, 1958.
Bibliografia complementar
Todd Arbogast and Jerry L. Bona. Methods of Applied Mathematics. pdf
Tosio Kato. Perturbation Theory for Linear Operators. Springer, 1980.
Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011.
A. A. Castro. Curso de Teoria da Medida, 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.
Aulas, questões e provas
Aula 1 (03/01/2022): Introdução ao curso. Exemplos de espaços de funções. Espaço vetorial topológico
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre Introdução a Análise Funcional: Link
Aula 2 (05/01/2022): Espaços de dimensão finita. Lema de Riesz. Transformações lineares
Aula 3 (06/01/2022): Teorema de Baire. Teorema da aplicação aberta e do gráfico fechado
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre Aplicação aberta e gráfico fechado: Link
Aula 4 (07/01/2022): Princípio da limitação uniforme
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre Aplicação aberta e gráfico fechado: Link
Exercício 1.1: Link
Peso 2
Para ser entregue das 12:00 do dia 07/01/2022 até 12:00 do dia 09/01/2022
Aula 5 (10/01/2022): Forma analítica do Teorema de Hanh-Banach. Aplicações do teorema de Hahn-Banach
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre teoremas de Hahn-Banach: Link
Aula 6 (12/01/2022): Seminormas e convexidade local. Hahn-Banach geométrico.
Aula 7 (13/01/2022): Aplicações do Hahn-Banach geométrico.
Aula 8 (14/01/2022): Topologias fracas. Convergência na topologia fraca
Exercício 1.2: Link
Peso 2
Para ser entregue das 12:00 do dia 14/01/2022 até 12:00 do dia 16/01/2022
Aula 9 (17/01/2022): Topologia fraca revisitada
Aula 10 (19/01/2022): Topologia fraca estrela
Aula 11 (20/01/2022): Teorema de Banach-Alaoglu. Reflexividade
Aula 12 (21/01/2022): Teorema de Kakutani
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre espaços reflexivos: Link
Exercício 1.3: Link
Peso 2
Para ser entregue das 12:00 do dia 21/01/2022 até 12:00 do dia 23/01/2022
Aula 13 (24/01/2022): Aplicações do teorema de Kakutani. Separabilidade
Aula 14 (26/01/2022): Metrizabilidade da bolas nas topologias fracas. Compacidade sequencial em espaços reflexivos.
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre aplicações do Kakutani e metrizabilidade: Link
Aula 15 (27/01/2022): Espaços uniformemente convexos
Aula 16 (28/01/2022): Espaços de Hilbert
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre espaços de Hilbert: Link
Exercício 1.4: Link
Peso 2
Para ser entregue das 12:00 do dia 28/01/2022 até 12:00 do dia 30/01/2022
Aula 17 (31/01/2022): Teorema da projeção
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre espaços de Hilbert - ortogonalidade: Link
Aula 18 (02/02/2022): Teorema da representação de Riesz. Completamento de espaços com produto interno. Dual de espaços pré-hilbertianos.
1ª prova: Link
Peso 6
Para ser entregue das 8:30 as 11:30 do dia 03/02/2022
Aula 19 (04/02/2022): Bases ortonormais. Séries de Fourier.
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre bases ortonormais: Link
Atividade extra
Entregar a primeira prova resolvida
Para ser entregue até 06/02/2022
Aula 20 (07/02/2022): Topologia no espaço de operadores. Adjunto de Banach
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre adjunto de Banach: Link
Aula 21 (09/02/2022): Adjunto de Hilbert. Operadores compactos
Aula 22 (10/02/2022): Operadores compactos em espaços de Hilbert
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre operadores compactos em espaços de Hilbert: Link
Exercício 2.1: Link
Peso 2
Para ser entregue das 08:00 do dia 11/02/2022 até 08:00 do dia 13/02/2022
Aula 23 (14/02/2022): Operadores auto-adjuntos. Espectro de um operador contínuo.
Aula 24 (16/02/2022): Espectro de um operador compacto
Aula 25 (17/02/2022): Espectro de um operador auto-adjunto
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre espectro de um operador compacto autoadjunto: Link
Exercício 2.2: Link
Peso 2
Para ser entregue das 08:00 do dia 18/02/2022 até 08:00 do dia 20/02/2022
Aula 26 (21/02/2022): Teorema espectral para operadores compactos e auto-adjuntos
Vídeo do Prof. Dr. Vitor Araujo (UFBA) sobre o teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos: Link
Aula 27 (23/02/2022): Aula de dúvidas
2ª prova: Link
Peso 8
Para ser entregue das 8:30 as 11:30 do dia 24/02/2022