Departamento de Filosofía - CFE/ANEP

JEAN VAN HEIJENOORT

LÓGICA COMO CÁLCULO Y LÓGICA COMO LENGUAJE†

Respondiendo las críticas hechas por Schröder a la Begriffsschrift, Frege dice que, a diferencia de la lógica de Boole, su lógica no pretende ser un calculus ratiocinator, o no sólo un calculus ratiocinator, sino una lingua characterica1 . Si llegamos a comprender qué es lo que Frege quiere decir con esta oposición, ganaremos una muy útil aproximación a la historia de la lógica.

Antes de comenzar esta tarea, me gustaría reseñar, o simplemente enumerar, las contribuciones de Frege a la lógica en virtud de proveer el trasfondo apropiado para nuestra discusión. Estas contribuciones son:

(1) El cálculo proposicional, con las definiciones veritativo-funcionales de los conectores, sobre todo del condicional;

(2) La descomposición de la proposición en función y argumento(s), más que en sujeto y predicado;

(3) La teoría de la cuantificación, basada en un sistema de axiomas y reglas de inferencia;

(4) Definición de secuencia infinita y número natural por medio de términos exclusivamente lógicos.

Además de estos cuatro descubrimientos, dos puntos más deben ser mencionados:

(a) Frege fue el primero en presentar con toda la adecuación necesaria, una noción cardinal del pensamiento moderno, la de sistema formal;

(b) La filosofía de Frege es analítica, en el sentido de que la lógica tiene un control constante sobre las investigaciones filosóficas, esto significó un claro quiebre con el pasado, especialmente en Alemania, habiendo Frege influenciado a filósofos tan diferentes como Russell, Wittgenstein y Austin.

† JEAN VAN HEIJENOORT. Logic as calculus and logic as language, Synthese, 17, Issue 1 (1967) pp. 324-330.

1 Las críticas de Schröder están contenidas en su reseña de Begriffsschrift, publicada en Zeitschrift fiir Mathematik und Physik 25 (1880), Historisch-literarische Abtheilung, pp. 81-94. La respuesta de Frege fue dirigida a la sociedad científica el 27 de enero de 1882 y publicada en sus actas. Über den Zweck der Begriffsschrift, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medicin und Naturwissenschaft für das Jahr 1882 (Jena 1883), pp. 1-10, reimpresa en Gottlob Frege, Begriffsschrift und andere Aufsätze, Hildesheim 1964, pp. 97-106. Sobre el origen de la expresión 'lingua characterica' véase la nota al pie 8 en la página 10 de Gfinther Patzig en Gottlob Frege, Logische Untersachungen, Gottingen 1966.

2

La oposición entre calculus ratiocinator y lingua characterica tiene varios aspectos diferentes pero conectados. Estos variados aspectos, que la mayoría de las veces no son establecidas por Frege, tienen que ser extraídos por medio de un estudio de su obra. De los escritos de Frege surge una cierta imagen de la lógica, una concepción que si bien no es explicitada, guía constantemente el trabajo de Frege. Me referiré a esta concepción como la universalidad de la lógica.

Esta universalidad de la lingua characterica de Frege es, antes que nada, la universalidad del vocabulario de la teoría de la cuantificación del que el cálculo proposicional carece. Frege llama frecuentemente a la lógica de Boole “lógica abstracta”2, y lo que quiere decir con esto es que en ésta lógica la proposición queda sin analizar. La proposición es reducida a su mero valor de verdad. Con la introducción de las letras de predicado, variables y cuantificadores, la proposición deviene articulada y puede, así, expresar un significado. La nueva notación permite una reescritura simbólica de porciones enteras del conocimiento científico, quizás de todo, tarea que va más allá del reino del cálculo proposicional. Ahora tenemos una lingua, y no sólo un cálculo. La lógica de Boole, que no puede ser catalogada como lingua, concentra el estudio, en lenguaje natural, sólo de las relaciones algebraicas de las proposiciones. Este estudio es llevado a cabo en lenguaje natural y es comparable con varias ramas de la matemática como teoría de grupos. En el sistema de Frege el cálculo proposicional subsiste embebido en la teoría de la cuantificación; la oposición entre lingua y calculus, en este sentido, no exclusiva, y ésta es la razón de por qué Frege escribe que su propia lógica no es meramente un calculus ratiocinator3.

Sin embargo, la oposición entre calculus ratiocinator y lingua characterica va mucho más allá de la distinción entre calculo proposicional y teoría de la cuantificación. La universalidad de la lógica expresa por sí misma una característica importante del sistema de Frege. En ese sistema los cuantificadores ligan variables que ranguean sobre todos los objetos. Como es bien sabido, para Frege el mobiliario ontológico del universo se divide en objetos y funciones. Boole tiene su clase de universo, y De Morgan su universo de discurso denotado por ‘1’. Pero esto no tiene ninguna implicación ontológica. El universo puede ser cambiado. El universo de discurso comprende sólo lo que acordamos considerar en cierto momento, en cierto contexto. Para Frege no puede haber una cuestión de cambios de

2 Ver, por ejemplo, el comentario de Frege sobre Boole en Über den Zweck der Begriffsschrift (referido en la nota al pie 1), pp. 1-2.

3 En Über die Begriffsschrift des Herrn Peano und rneine eigene, Berichte über die Verhandlungen der Königlichen Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-physische Classe 48 (1896), 361-378, Frege escribe en la página 371: “la lógica de Boole es un calculus ratiocinator, no una lingua characterica; la lógica matemática de Peano es, en su mayor parte, una lingua characterica, y subsidiariamente un calculus ratiocinator también; mientras que mi Begriffsschrift intenta ser ambas con igual preocupación”. Aquí los términos son usados aproximadamente con el mismo significado que en el presente párrafo: Boole tiene un cálculo proposicional pero no una teoría de la cuantificación; Peano tiene una notación para la teoría de la cuantificación pero sólo una deficiente técnica de derivación; Frege tiene una notación para la cuentificación y una técnica para la derivación.

3

universos; ni siquiera se puede decir que él se limita a un universo. Su universo es el universo; no necesariamente el universo físico, claro está, porque algunos objetos no son físicos. El universo de Frege consiste en todo lo que hay y éste es fijo.

Esta concepción tiene varias consecuencias para la lógica. Una de ellas es, por ejemplo, que las funciones (y los conceptos, como un caso especial de éstas) debe ser definida para todos los objetos. Para tomar un ejemplo, la función ‘+’ es definida no sólo para los números naturales, sino también, para, digamos, la luna y 1. Lo que sea el valor de la función para ese caso es irrelevante aquí, pero este valor debe existir para todo conjunto de argumentos escogido de entre los objetos. Cuando Frege tiene que lidiar con un dominio de objetos especial, los números naturales en la aritmética por ejemplo, él usa dispositivos que son de hecho equivalentes al método de relativización de los cuantificadores.

Otra consecuencia importante de la universalidad de la lógica es que nada puede ser, o tiene que ser, dicho fuera del sistema. Y de hecho, Frege nunca plantea cuestiones meta-sistemáticas (consistencia, independencia de los axiomas, completitud). En realidad, Frege es plenamente consciente de que cualquier sistema formal requiere reglas que no son expresadas en el sistema; pero estas reglas están vacías de cualquier lógica intuitiva; éstas son “reglas para el uso de nuestros signos”4. En una manipulación de signos así, de la que cualquier lógica argumentativa ha sido extraída, Frege ve precisamente la ventaja de un sistema formal.

Dado que la lógica es un lenguaje, ese lenguaje debe ser aprendido. Como muchos lenguajes en varias circunstancias, el lenguaje debe ser aprendido por medio de pistas y sugerencias. Frege sostiene en reiteradas ocasiones, cuando introduce su sistema, que él está dando “pistas” al lector que éste tiene que cumplir [that the reader has to meet him halfway and should not begrudge him a share of 'good will']. El problema es llevar al lector a “capturar” que él tiene que entrar en el lenguaje.5

En Principia Mathematica algunos aspectos de la universalidad de la lógica son modificados –por la introducción de los tipos. Los cuantificadores ahora ranguean sobre tipos estratificados. Pero dentro de un tipo no existe la restricción a un dominio en particular, y en ese sentido el dominio es preservado. Tenemos un universo estratificado, pero tenemos nuevamente el universo, no un universo que podemos cambiar a voluntad.

4 Begriffsschrift, § 13.

5 Aquí la influencia de Frege sobre wittgenstain es obvia. –La reticencia de Freege a abordar cuestiones metasistemáticas, explica, quizá, por qué no le inquietaba el enunciado “el concepto de Cabballo no es un concepto”. La paradoja nace del hecho de que, debido a que los conceptos, siendo funciones, no son objetos; por lo que no podemos nombrarlos, por lo tanto, no podemos hablar de ellos. Algunos enunciados que son (aparentemente) sobre conceptos pueden ser traducidos fácilmente en el sistema del siguiente modo: “el concepto ( ) es realizable” deviene en “∃x (x)”. Los enunciados que se resisten a tal traducción son, examen mediante, metasistemáticos. Por ejemplo, el enunciado “hay funciones” no puede ser traducido en el sistema, pero vemos que una vez que hemos “capturamos” que hay signos de función entre los signos del sistema, entonces podemos ver que sí hay funciones.

4

Cuestiones acerca del sistema están ausentes en Principia Mathematica como también lo están en el trabajo de Frege. Las nociones semánticas son desconocidas, ‘⊦’ es leído como “… es verdadero”, y Russell no podía haber llegado a añadir a la noción de demostrabilidad una noción de validez basada en la teoría intuitiva de conjuntos. Al comienzo de su artículo de 1930 sobre la teoría de la cuantificación Gödel describe los axiomas y las reglas de inferencia de Principia Mathematica y luego agrega: “por supuesto que, ante un procedimiento así surge a la vez la pregunta por la completitud del sistema de axiomas y principios de inferencia, es decir, si éstos son suficientes para poder derivar todas las proposiciones lógico-matemáticamente verdaderas; o si tal vez haya proposiciones verdaderas (que podrían ser demostradas por medio de otros principios) de las que sea concebible pensar que no son derivables en el sistema en cuestión.”6 (Énfasis mío en ambos casos.) Gödel escribió estas líneas veinte años después de de que el primer volumen de Principia fuera publicado. Si la cuestión de la completitud semántica de la teoría cuantificacional no surge “a la vez” es gracias a la universalidad –en el sentido que he expuesto– de la lógica de Frege y Russell. El lenguaje formal universal suplanta al lenguaje natural, preservar fuera del sistema, una noción de validez basada en la teoría intuitiva de conjuntos, no parece encajar en la reconstrucción científica del lenguaje. La única cuestión acerca de la completitud que puede surgir es, para usar una expresión de Herbrand, una interrogante experimental. Se derivan todos los teoremas que sea posible derivar; ¿podemos agotar todos los modos intuitivamente válidos de razonar que actualmente son usados en ciencia? Responder a esta pregunta es el fin del proyecto Frege-Russell, al cual debemos añadir, en virtud de sus deficiencias, la obra de Peano. Los Begriffsschrift, Die Grundlagen

der Arithmetik, los dos volúmenes de Grundgesetze der Arithmetik, Arithmetices Principia, las varias ediciones de Formulaire de mathdmatiques, The Principles of Mathematics, y los tres volúmenes de Principia Mathematica –todas estas obras pueden ser consideradas como un paso en el siempre renovado intento de establecer experimentalmente la completitud.

En 1915 Löwenheim publicó un artículo que contiene varios aspectos novedosos. El sistema en el que Löwenheim está interesado la mayor parte del tiempo es el cálculo de primer orden con identidad. Él no tiene ningún axioma o regla de inferencia; su lógica se basa en la teoría intuitiva de conjuntos, y la noción de demostrabilidad es suplantada por la de validez. Mientras que la aproximación de Frege y Russell a los fundamentos de la lógica puede ser denominada axiomática7, mientras que la aproximación de Löwenheim puede ser

6 Kurt Gödel, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”, Monatshefte für Mathematik und Physik 37, 349-360. Traducción inglesa realizada por Stefan Bauer-Mengelberg en J. van Heijenoort, From Frege to Gödel. A Saurce Book in Mathematical Logic, Harvard University Press, Cambridge Mass., 1967.

7 Aquí “axiomática” es usado para designar un método de derivación formal basado en axiomas y reglas de inferencia; este uso no debe ser confundido con otros más amplios, como en “el método axiomático en geometría”. Vamos a señalar que, a diferencia de Frege, Russell nunca enfatizó el aspecto formal de las pruebas lógicas y que, en particular, el sistema de Principia Mathematica no se adapta a los estándares que Frege fijo para los sistemas formales (sobre este punto véase Kurt Gödel, “Russell’s Mathematical Logic”, en The Philosophy of Bertran Russell, ed. Por Paul Arthur Schillp, New York, 1944, pp. 123-153, especialmente, p. 126; véase también W.V. Quine, “Whitehead and the Rise of Modern Logic”, en The Philosophy of Alfred North Whitehead, ed. Por Paul Arthur Schillp, New York, 1941, pp. 125-163, especialmente p. 140). La noción de sistema formal fue puesta de relieve nuevamente por HIlbert en la década del veinte. Es debido a esto que los sistemas formales de lógica (en nuestro sentido) son llamados sistemas tipo-Hilbert por Kleene (Introduction to Methamathematics, p. 441). Si la prioridad histórica ha de ser respetada, ellos deberían llamarse sistemas tipo-Frege.

5

llamada teórico-modélica. Si seguimos esta aproximación, cuestiones acerca de la validez de las fórmulas bien formadas en dominios diferentes pasa al primer plano. El mismo título del artículo, Über Möglichkeiten im Relativkalkül, hace referencia a este punto: si una formula es válida en un dominio, ésta puede ser o no ser válida en otro dominio. Por ejemplo, para el fragmento singular del cálculo de predicados de primer orden, si una formula bien formada que contiene la ocurrencia de un número k de distintas letras de predicado es válida en un dominio de 2k elementos, entonces es válida en todo dominio. O tómese el famoso teorema de Löwenheim: si una formula bien formada es válida en un dominio numerable, entonces es válida en todo dominio8. Varias instancias del problema de decisión y el problema de reducción son tratados por medio de métodos semánticos: a partir de la validez de una formula bien formada en un dominio, podemos, por medio de un argumento, la validez de alguna otra fórmula relacionada en el mismo dominio, o la validez de la misma fórmula en algún otro dominio.

Estos métodos y estos resultados están completamente ausentes en el enfoque lógico de Frege y Russell. Tan sorprendente que es sorprendente cómo Löwenheim llegó a pensar en su teorema; la explicación podría ser la siguiente: a partir del resultado mencionado en el párrafo anterior acerca del fragmento singular del cálculo de predicados de primer orden se sigue que, si una fórmula bien formada perteneciente a ese fragmento es válida en un dominio finito, entonces es válida. Esto no vale para el cálculo en general. De hecho, Löwenheim era consciente de que había fórmulas de ese cálculo que siendo válidas en todo dominio finito, no lo eran en todo dominio. En este momento –dado que en el caso singular, la validez finita conduce a la validez– es natural preguntarse: ¿si una fórmula bien formada es válida en un dominio numerable, es válida en todo dominio? La respuesta es que sí, y éste es el teorema de Löwenheim.

Con el artículo de Löwenheim tenemos un marcado quiebre con respecto a la aproximación Frege-Russel a los fundamentos de la lógica, y un retorno, o al menos una conexión, con la lógica pre o no fregeana. Löwenheim utiliza la notación lógica de Schröder, pero lo que es más importante, con Schröder él también incorpora la posibilidad de cambiar el universo de discurso a voluntad y basar sus consideraciones en estos cambios. Y de la misma forma en que Frege fue ignorado en su tiempo debido a su ruptura con la tradición, Löwenheim también lo fue por su ruptura con la nueva tradición establecida. A la sombra de la aproximación Frege-Russell, Löwenheim renovó el contacto con Boole y Schröder, a la vez que realizó sus propias contribuciones a la lógica.

La primera reacción al artículo de Löwenheim fue un artículo de Skolem de 19209, que continua con la aproximación conjuntística a la lógica. Sin embargo, poco después, la oposición entre ambas aproximaciones es disuelta. Durante los años veinte, los trabajos de Skolem, Herbrand y Gödel produjeron una aleación y también una dèpassemen de estas dos aproximaciones. Concretamente, el trabajo de Herbrand puede ser visto como estableciendo, junto a la aproximación axiomática y conjuntística a los fundamentos de al lógica, un tercer enfoque, el de las expansiones de Herbrand; pero esa es otra historia. Permítaseme decir simplemente, a modo de conclusión que la Begriffsschrift (1879), el

8 Por mor de la simplicidad tomo la formulación del teorema para la teoría de la cuantificación sin identidad.

9 “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischen Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen”, Videnskapsselskapets skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig klasse, no. 4.

6

artículo de Löwenheim (1915), y el capítulo 5 de la tesis de Herbrand (1929) son las tres piedras angulares de la lógica moderna.

Brandeis University

Traducido del Inglés por Guillermo Nigro.