Fotón y masa

El fotón y la masa

Pedazo de calabaza.

El tema de la masa del fotón es muy controvertido. Es evidente que es difícil de tragar eso de que los fotones no tienen masa. En nuestra vida diaria estamos acostumbrados a que todo lo que nos rodea tiene masa y aceptar que haya algo sin ella no es trivial del todo.

¿Pero por qué narices se empeñan los físicos en repetir que el fotón no tiene masa?

¿Acaso el fotón no tiene energía? ¿Entonces no es válida la relación

?

Estas son preguntas que se repiten una y otra vez y que son ciertamente complicadas de responder. Esta entrada, que se preveé árida, intentará dar los argumentos teóricos existentes para mostrar el por qué se dice que el fotón es una partícula sin masa.

El argumento relativista

En relatividad especial trabajamos en un espaciotiempo que tiene una métrica de Minkowski. En dicha teoría, el módulo de cualquier vector (de cuatro coordenadas y calculado con dicha métrica) tiene que ser el mismo para todo observador inercial (se mueve en línea recta con una velocidad constante en módulo).

Para repasar algo de relatividad especial dejamos aquí dos entradas, la primera más suave y la segunda más técnica:

Conceptos de Relatividad Especial

Revisión de Relatividad Especial 1

Espacio de Minkowski, vectores y módulos

El espacio de Minkowski es un espacio de 4 dimensiones, el tiempo y las tres espaciales, que representa nuestro espaciotiempo. Además, introduce una forma curiosa de calcular los módulos de los vectores que se pueden definir en dicho espacio empleando la llamada métrica de Minkowski.

Como no nos es posible dibujar cuatro dimensiones nos restringiremos a dos, así en vez de trabajar con vectores con componentes (ct, x, y, z) trabajaremos solo con (ct, x). Esto no le quita generalidad a la discusión ya que la extensión es directa. Notemos que en la componente temporal introducimos el factor c que representa la velocidad de la luz, esto lo hacemos para que las unidades de todas las coordenadas sean la misma. Si el tiempo se mide en segundos (s) y c en metros partido por segundo (m/s) es evidente que el producto ct se mide en metros.

Espacio de Minkowski con la línea que representa la trayectoria espaciotemporal de un rayo de luz o fotón.

Una partícula que se mueva a la velocidad de la luz verificará por tanto que el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que tarda en recorrerlo será c.

Por lo tanto,

Y por esto, las partículas que se mueven a la velocidad de la luz se dibujan formando un ángulo de 45º con los ejes de coordenadas.

Ahora bien, lo que implica esto es que tenemos para partículas que se mueven a la velocidad de la luz lo siguiente:

Minkowski nos dice que en su espacio si queremos calcular el módulo de un vector (t,x) lo tenemos que hacer de la siguiente forma:

Esto contrasta con lo que nos enseñan en el colegio de que el módulo del vector dado por (x,y) se calcula como

.

Así, si tenemos una partícula que se mueve a la velocidad de la luz se verifica que x=ct y por tanto

. La relatividad especial nos dice que cualquier observador inercial ha de estar de acuerdo con este módulo, es decir, esta cantidad es un invariante físico. Si cambiamos de coordenadas, por cambiar de observador inercial, variaremos los valores de x y ct a x’ y ct’. Pero el cambio es de tal forma que se compensan a la hora de calcular los módulos.

Sabemos que los tiempos se dilatan y las longitudes se contraen cuando un observador compara las medidas de tiempos y longitudes con las de otro observador distinto, y lo hacen justo así para que los módulos de los vectores en cuatro dimensiones permanezcan inalterados.

Si uno quiere calcular el momento de una partícula en cuatro dimensiones utilizará la expresión

, donde la primera componente nos da la energía y la segunda componente el momento de la partícula.

Si calculamos el módulo de este vector para partículas que se mueven a la velocidad de la luz obtendremos:

Lo que quiere decir es que toda su energía procede del hecho de que tiene momento, es decir, movimiento.

Todos los 4-vectores que se definen en el cono de luz, en la superficie que está formando 45º con los ejes (el cono de luz), vienen definidos por la propiedad de que su módulo es nulo. A estos vecotres se los denomina nulos por razones obvias. Y evidentemente, una partícula que se mueva a la velocidad de la luz no puede variar dicha velocidad en ningún momento, ha de permanecer en el cono.

Para partículas que se mueven a velocidades inferiores a la velocidad de la luz lo que obtenemos es:

Donde esa m es la masa de la partícula medida en reposo. Evidentemente, si la partícula está en reposo su momento p=0, y por tanto:

Y vemos aquí por qué esta expresión SOLO ES VÁLIDA PARA PARTÍCULAS EN REPOSO. Un fotón, se mueve siempre a la velocidad de la luz, toda su energía viene de su momento (de estar en movimiento) y no podemos pararlo (en el vacío c siempre ha de ser c, si intentamos frenar un fotón este desaparece). Por lo tanto no podemos decir que como un fotón tiene energía entonces tiene masa. Lo que podemos decir a la vista de la expresión:

Es que un fotón no tiene masa y como esto procede de un módulo de un vector en 4 dimensiones, cualquier observador inercial diría lo mismo.

El argumento gauge

Las simetrías gauge son las transformaciones que podemos hacer sobre los objetos matemáticos de nuestras teorías de forma que todos los resultados observables permanezcan inalterados.

Si queréis una lectura sobre qué es eso de simetría gauge para aclarar ideas:

Gauge esto, gauge lo otro… ¿Qué es una teoría gauge?

Las teorías gauge son interesantes por dos motivos:

Involucran cantidades conservadas (en su versión global).

Determinan la forma de las interacciones físicas (en su versión local).

Un ejemplo de andar por casa

La mayoría nos hemos peleado con los problemas del instituto:

Sea un cuerpo de masa m a una altura h del suelo que dejamos caer. ¿Con qué velocidad llegará al suelo?

Estos problemas ser resolvían fácilmente aplicando la conservación de la energía.

representa la energía potencial gravitatoria (mgh) y la la energía cinética ().

¿Qué pasa si yo decido sumar a todas mis energías potenciales una cantidad constante K? Entonces, tendríamos lo siguiente:

Pero, evidentemente, eso queda exactamente igual que si no hubieramos sumado nada:

Este hecho nos permitía poner el origen de potencial donde queríamos según nos conviniera mejor a la hora de resolver el problema, bastaba con restar o sumar una cantidad fija a todas las energías potenciales para tener el valor 0 donde quisieramos. Y eso, no cambiaba la física que estábamos estudiando.

Gauge

Una cosa análoga se puede hacer con el electromagnetismo. Sabemos que el campo electromagnético está definido por campos eléctricos

y campos magnéticos

. Como los físicos son muy vagos en vez de trabajar escribiendo tantas componentes diseñan una tabla:

lo llamamos tensor electromagnético y solo es una forma compacta de tener todas las componentes del campo electromagnético ordenaditas para facilitar su manejo.

Seguro que alguna vez nos hemos topado con el concepto de potenciales. El potencial gravitatorio es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa, conocido dicho potencial en todos sus puntos podemos calcular el campo gravitaorio. También sucede esto con el campo electromagnético. De hecho, se puede definir un objeto, denominado 4-potencial electromagnético:

donde la primera componente nos da el potencial eléctrico, con el que calcularíamos el campo eléctrico. Y las tres restantes forman lo que se conoce como el potencial vector, con lo que se calcula el campo magnético.

Lo interesante de esto es que se verifica:

Esta expresión lo único que nos dice es que podemos calcular todas las componentes del tensor electromagnético (campos eléctricos y magnéticos) tomando derivadas (respecto de las cuatro coordenadas (t,x,y,z)) del 4-potencial electromagnético.

Ahora viene lo chulo, ¿qué pasa si yo cambio el 4-potencial de la siguiente manera?

Es decir, le sumamos un factor

. Por cuestiones técnicas, que vendrán al caso en un momento, este factor se considera que es la derivada de una función escalar f.

¿Qué le ocurre al tensor electromagnético si cambio esto?

En principio no parece que nos quede igual que al principio y eso sería malo porque si cambiamos el tensor electromagnético entonces cambiaríamos la física. Pero resulta que matemáticamente sabemos que para funciones escalares (bien comportadas y tal, ya sabéis todo eso que los matemáticos dicen y que aquí se cumple) las derivadas cruzadas son iguales independientemente del orden en el que se hagan, por ejemplo:

Es decir, que:

Y por tanto:

¿Y esto por qué es importante?

Esto es importante por lo siguiente:

Los físicos no solon quieren tener tablas con la información de los campos físicos. También quieren saber como se comportan dichos campos. En el caso anterior no solo queremos definir el tensor electromagnético

, también queremos obtener las ecuaciones que verifica, en este caso las ecuaciones de Maxwell.

Para conseguir esto se define un objeto que se llama lagrangiana. A partir de ella, tomando diferentes derivadas, se obtienen las ecuaciones físicas de los campos.

En el caso electromagnético, el lagrangiana tiene el siguiente aspecto:

Recordemos que el tensor electromagnético, como hemos visto antes, se puede expresar como combinaciones de derivadas del 4-potencial

. Este es el objeto físico relevante en la lagrangiana.

Si los fotones tuvieran masa aparecería explícitamente un término cuadrático (producto de dos) en los 4-potenciales:

Pero si cambiamos el 4-potencial como hemos hecho antes, que hemos visto que el tensor electromagnético no cambia, pasa lo siguiente:

Si desarrollamos ese cuadrado tendremos que la lagrangiana adquiere nuevos términos. Eso implica que las ecuaciones del electromagnetismo variarían para cada elección de función f y eso no puede ser porque la física no puede ser sensible a la elección de dicha función si queremos que todo funcione como hasta ahora.

Así que si la invariancia gauge es acertada, y tiene que serlo porque determina la conservación de la carga eléctrica y la interacción electromagnética que conocemos, la masa del fotón tiene que ser nula.

Otros argumentos

Polarización de la luz

La luz tiene una característica y es que puede ser polarizada. Para refrescar este concepto:

Polarización ¡que sustos nos das!

Planck, no compres sin Thom ni son…

La luz es una onda, oscila y se propaga, pero lo puede hacer en diferentes direcciones. Polarizar la luz, groso modo, significa seleccionar un plano de oscilación.

Si la luz estuviera compuesta por partículas con masa no bastarían dos datos sino que necesitaríamos tres para describir los posibles estados de polarización. Así que una polarización del tipo que sufre la luz solo es compatible si está formada por partículas sin masa.

Alcance de la interacción electromagnética

Hasta la fecha, que yo sepa, no hay pruebas de que el alcance de la interacción electromagnética sea finito. Es decir, la interacción se extiende desde una carga hasta el infinito.

Eso, en física elemental, se traduce en el hecho de que el potencial eléctrico sea de la forma:

Si la interacción tuviera un alcance finito, como es el caso de la interacción débil, la forma de este potencial sería:

Esto evidentemente, induciría cambios en la ley de Coulomb. Sin embargo, no hay evidencias experimentales de este hecho, por lo tanto, hasta ahora el fotón no tiene masa.

Ese potencial es el que describe la interacción nuclear fuerte en los núcleos que está mediada por partículas llamadas piones que tiene mucha masa, dicha interacción tiene un alcance muy reducido, justamente debido a la masa de sus mediadores.

Conclusión

Hay muchas formas de llegar a la conclusión de que el fotón es una partícula sin masa. Aquí hemos expuesto algunas que espero que hayan aclarado el tema. Haremos un resumen para fijar ideas, o por si has saltado hasta aquí :

Una partícula que se mueve a la velocidad de la luz en el vacío no puede tener masa en resposo.

El fotón aparece como el mediador de la interacción electromagnética. Esta interacción es invariante bajo una transformación gauge. Esto implica que se conserva la carga eléctrica y que el electromagnetismo tiene un determinado comportamiento físico. La invariancia gauge, además, prohibe que las partículas que median la interacción relacionada tengan masa.

Se pueden buscar pruebas más “evidentes” como que la luz solo tiene dos dimensiones o que el potencial eléctrico es de tipo Coulombiano. Si el fotón tuviera masa estos hechos serían diferentes.

Podemos cerrar diciendo que, hasta lo que sé, no hay evidencias experimentales de que el fotón tenga masa en reposo. El problema es que si miramos las tablas de partículas no dirán que la masa del fotón estará por debajo de

eV. No nos dirán que es cero, simplemente porque demostrar que algo es justamente 0 es ciertamente difícil, los experimentadores están condenados por la sensibilidad de sus aparatos y apreciar por debajo de eso no es posible. (Pero vamos, que para mí esas cotas huelen a cerete).

Datos de cotas de masa del fotón a 2012. Particle Data Group.

Referencias

Photon and Graviton Mass Limits