The Quadratic Curves Addition Method
Apolloniusの問題は，二次曲線付加法（The Quadratic Curves Addition Method）で説明できる。
円Oの半径をRとする．
【定理2】円Oの内部の定点Fを通る円のうち，Oに内接する円の中心は，2点O，Fを焦点とする楕円上にある。ただし，2焦点からの距離の和はRである。
【証明】図のように，接点をQとすると，
OP + FP = OP + PQ = OQ = R
よって，求める円の中心Pは，O, Fを焦点とする楕円上にある。
ただし，2焦点からの距離の和は円Oの半径Rである。
逆に，楕円上に任意の点Pをとり，OPの延長と円Oとの交点をQとすれば，条件から，
OP + FP = R
OP + PQ = R
よって， FP = PQ
すなわち， PF = PQ
Pを中心とする半径PFの円は円OとQと接する。（Q.E.D）
円Oの内部の定点Fを半径0を円と考える。
ここで，円Fが半径 （工事中）