Simetría fuerte

La simetría, como concepto matemático, precisa del lenguaje de la teoría de grupos y aparece por primera vez en el caso del grupo de las permutaciones de las raíces de una ecuación algebraica. Kronecker formularía los postulados de la estructura de grupo de una forma abstracta, prescindiendo de su origen como grupo de permutaciones de raíces. En cualquier caso, en su mismo origen es fundamental la idea de cierto conjunto de transformaciones (permutaciones) que dejan algo invariante (en este caso las raíces).

Desde un punto de vista geométrico se considera la simetría como el conjunto de transformaciones isométricas (conservan la distancia) que dejan invariante globalmente a un objeto geométrico.

De otro modo:

Un conjunto del plano A es simétrico si existe una transformación isométrica F tal que

F(A)=A

El conjunto de transformaciones isométricas que cumplen dicha propiedad para A constituye un grupo, llamado el grupo de simetría de A.

Por ejemplo, una traslación T será simetría para las rectas que tienen la misma dirección que el vector de la traslación, pero no para las demás. Si la transformación en cuestión es una reflexión respecto de una recta vertical entonces una figura simétrica A será aquella que presenta lo que coloquialmente llamamos "simetría bilateral".

Un grupo de simetría de una figura plana se llama de Leonardo si es un grupo finito y existe un punto fijo P para todos los elementos del mismo. Ese punto es el centro de simetría.

Por ejemplo, un rosetón es una distribución regular de un dibujo alrededor de un punto fijo central. Periódicamente, cada cierto ángulo, todo se repite exactamente igual, de tal forma que, al recorrerlo con la vista, nos resulta imposible distinguir qué parte del rosetón estamos viendo en cada momento. Como el punto central se mantiene fijo, para formar un rosetón nos basta usar azulejos con forma de sector circular.

En consecuencia, el grupo de simetría de Leonardo de una figura plana no contiene traslaciones; estará formado solo por giros y simetrías axiales cuyos ejes pasan por P.

Hay dos tipos de transformaciones del plano que determinan los grupos de simetría de Leonardo: el grupo cícliclo y el grupo diédrico.

Ambos se definen de la siguiente manera:

Grupo cíclico: C_n={G_P^2π·k/n, k=1,2,…,n}, generado por el giro G_P^2π·k/n de centro P y ángulo 2πk/n

Grupo diédrico: D_n={G_P^2π·k/n, S_rk, k=1,2,…,n}, compuesto por n giros G_P^2π·k/n y n simetrías axiales S_rk

Leonardo da Vinci determinó sistemáticamente las posibles simetrías de una construcción central, de tal forma que al agregar capillas y nichos no se destruía la simetría del núcleo. Esencialmente, Leonardo usó los grupos diédricos finitos.

Mostramos algunos ejemplos de esta simetría en la arquitectura.

Sea r es una recta con vector director a. El grupo de isometría del friso esta formado por isometrías del plano que deja fija la recta r y contiene como únicas traslaciones al grupo generado por la traslación de vector a.

Los frisos han decorado magníficos palacios de la antigüeldad, como el de Persépolis.

Otros ejemplos de simetría de traslación, típica de los frisos, los encontramos en multitud de objetos de la antigüedad, desde cilindros que al hacerlos rodar sobre una lámina de arcilla reproducen un relieve que se extiende indefinidamente o las marcas de las vasijas griegas del período geométrico.

Estudio geométrico de los Frisos

Sea F una figura del plano y sea T_a una traslación de vector a. Un friso con elemento celular F es un conjunto del tipo:

F = { T_a^k(F) / k es nº entero }

De esta manera el friso se mantiene siempre limitado por dos rectas paralelas en una franja infinita que de ser horizontal se extiende a la derecha y a la izquierda.

La célula F se llama también módulo, y su repetición sistemática constituye la base del ritmo que comunica al observador.

Dado un friso F siempre es posible localizar una recta sobre la que descansa el friso, que sin pérdida de generalidad puede elegirse horizontal. Llamamos a la recta el centro del friso.

Sea una recta r con vector director a. Un grupo G de simetría de un friso es cualquier grupo de isometrías del plano que deje fija r y que contenga como únicas traslaciones al grupo generado por la traslación T_a, es decir, las únicas isometrías que pueden formar parte de un grupo de simetrías de un friso con recta fija r son:

a) las traslaciones del vector n · a, T_na, siendo a el vector director de la recta r,

b) la simetría axial respecto de r, S_r,

c) las simetrías axiales con eje m ortogonal a r, S_m,

d) los giros G_A de centro en A Є r y ángulo π y

e) las composiciones de todos los movimientos anteriores.

f) Llamamos L a la simetría con deslizamiento, de eje de simetría r y vector de traslación en la dirección de r.

La teoría de MOSAICOS estudia un recubrimiento especial del plano que se genera con la repetición en dos direcciones distintas de un módulo que cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad.

Un grupo G de isometrías se dice grupo de simetría del plano si existe una figura F compacta y conexa que verifique:

1. Todo el plano se cubre con los desplazamientos de la figura F según las isometrías de G.

2. Las imágenes de F se acoplan sin solaparse.

3. Existen dos vectores linealmente independientes a y b tales que las traslaciones de vector a y b y su composición están en el grupo de isometrías.

Desde la óptica actual de la moderna Teoría de Grupos de Transformaciones Geométricas, se define el concepto de Grupo Cristalográfico y se demuestra que en el plano sólo son posibles 17 tipos, resultado obtenido por Fedorov en 1981 (quien señaló que Jordan en 1869 había descrito 16); (Teorema de Fedorov).

Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agruparlos en cinco apartados, según el orden máximo de los giros:

• Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 120°: 3 grupos de simetrías

• Grupos de simetría con giros 90°: 3 grupos de simetrías.

• Grupos de simetría con giros de 60°: 2 grupos de simetrías.

La relación de los 17 grupos de simetrías con sus abreviaturas son:

Los árabes cultivaron con especial maestría el arte de crear mosaicos, un arte decorativo que ha creado belleza a partir de motivos abstractos tan caros a una cultura que tenía prohibida la representación de figuras de animales y personas. Tenemos en España una muestra representativa de esto mismo en los mosaicos de la Alhambra de Granada en la que se han documentado ejemplos de cada uno los 17 grupos cristalográficos planos.

Tal como muestra la siguiente obra de M.C. Escher, la respuesta es NO. Desarrollaremos más esta idea en Artistas>M.C.Escher>Particiones del plano.