Hemos visto en la sección anterior como Euclides había afirmado ya que la luz viaja en línea recta y que la forma del espacio que incluye nuestra visión es un cono con el vértice en el ojo y cuya base se sitúa en los límites de nuestra visión. Además sólo los objetos dentro del cono visual se pueden ver. Por otro lado, Euclides conocía que las cosas que se ven bajo un ángulo mayor aparecen mayores, y viceversa. Y esto quedó así hasta que un grupo de pintores del Renacimiento, con el fin de indagar algo más en las leyes de la visión o de la perspectiva, llegó a establecer reglas mucho más precisas. Eran conscientes de que la perspectiva no era azarosa, que tenía leyes y que con una inspección más o menos detenida se podía averiguar si una perspectiva era correcta o no. El modelo matemático que hay detrás del problema de la representación fiel de la realidad fue establecido, sin embargo, con posterioridad.

A partir del Renacimiento un cuadro es visto como una "ventana abierta al mundo", y la perspectiva artificial se postularía como el método fundamental de representación plana de cualquier figura tridimensional. De hecho el uso de la perspectiva, susceptible de formulación matemática, elevó a la "condición de ciencia" el arte de la pintura.

León Batista Alberti llegó a realizar un análisis matemático interesante para dar cuenta del fenómeno perspectivo y con ello establecer las reglas básicas para representar en dos dimensiones un espacio de tres dimensiones. La formulación del método de dibujo en perspectiva llevado a cabo por este autor supuso una "racionalización geométrica" bidimensional de las relaciones espaciales; tal como dice Ivins:

Los pintores renacentistas sabían, por ejemplo, que cuando un camino estaba flanqueado por filas de árboles éstos parecían converger en un mismo punto; dicho de otro modo, sabían que líneas paralelas fugaban o convergían en lo que se llamará punto de fuga. El punto de fuga de todas las perpendiculares al cuadro será determinante, pues todas esas perpendiculares al ser paralelas entre sí fugarán a un único punto situado en el centro de la representación a la altura del ojo del observador y dará nombre a la perspectiva lineal central tan típica del Renacimiento.

El conjunto de todos los puntos de fuga forman la línea del horizonte. Se sabía que las líneas rectas se veían como líneas rectas en perspectiva, pero que las distancias y ángulos entre objetos no se conservaban en ella; es decir, la distancia aparente (resp. ángulo aparente) entre objetos no era la distancia real (resp. ángulo real). Esto es un aspecto clave de la llamada Geometría Proyectiva, que vendrá a unificar y sistematizar matemáticamente de un modo riguroso la práctica artística.

Fernando Etayo Gordejuela [2] ilustra gráficamente los aspectos del problema. Imaginemos, dice, que un pintor desea pintar una carretera flanqueada por árboles (dispuestos en paralelo, imagen izquierda), lo que tendría que dibujar sería algo parecido al esquema de la derecha.

Con lo cual constatamos que se conservan las rectas, pero no las distancias ni los ángulos.

Este método era incómodo para los artistas. Se consideró suficiente elaborar un sistema tridimensional de coordenadas en escorzo que permitiera al artista reflejar las magnitudes relativas de cualquier objeto que se quisiera representar. Un ejemplo de este tipo de "construcción abreviada" fue la que describió Alberti, y más tarde Durero, para un enlosado (imagen inferior).

Si separáramos las distintas vistas, tendríamos el siguiente esquema en el que se unifican ambas construcciones. En la siguiente ilustración vemos el perfil (izquierda), la planta (inferior) y la construcción abreviada presentada por Alberti (parte superior derecha).

Más tarde, encontraremos en la Geometría Descriptiva de Monge y la Proyectiva de Poncelet justificación matemática para todas estas prácticas artísticas ingeniosas con la perspectiva.

El plano que secciona el cono de la visión se llama plano del cuadro, y contendrá la representación perspectiva. En primer lugar hay que sentar las siguientes bases:

De modo que si un observador cuyo "ojo único" se encuentra en PV observa un enlosado verá en perspectiva la siguiente representación (V es el punto L anterior, punto al que convergen las perpendiculares al plano del cuadro):

La línea del horizonte se sitúa a la altura del ojo del observador (PV); los segmentos paralelos que forman la cuadrícula del enlosado fugan a V, pues son perpendiculares al plano del cuadro.

La representación en perspectiva del prisma recto que se encuentra situado sobre el suelo a una cierta distancia del plano del cuadro se plantearía como se ve en el esquema inferior derecha.

Si el cubo se coloca con una de sus caras paralela al plano del cuadro, entonces en perspectiva se representaría como se ve en la imagen a): las aristas de los dos caras perpendiculares al plano del cuadro fugarían a V; la profundidad del cubo se determinaría con los puntos métricos, como se indica en la imagen a); en cuanto al cubo con caras no paralelas al plano del cuadro, su representación en perspectiva precisa de dos puntos de fuga, como se puede ver en la imagen b).

Las representaciones en perspectiva pueden necesitar, en consecuencia, tener uno, dos o, incluso, tres puntos de fuga para su construcción.

En el siglo XVII el matemático francés Girard Desargües dará una nueva interpretación de la perspectiva, concibiéndola como una Geometría (la Geometría Proyectiva). A partir de aquí, se hacen propuestas formales y deductivas al más puro estilo geométrico en los trabajos de B. Taylor o Joshua Kirby, hasta la tesis doctoral de Otto Wilhelm Fiedler en la que se define rigurosamente el sistema de proyección central, estableciendo las bases matemáticas de la perspectiva cónica como se conoce en la actualidad.

Como hemos visto, la representación perspectiva se encuentra contenida en el plano del cuadro, de modo que desde el ojo del espectador PV (que aquí en adelante llamaremos O), entre la representación del cuadro y la realidad se podría establecer una relación directa de proyección cuyos rayos convergerían en el ojo PV (O), tal como se puede ver en el siguiente dibujo (el "plano del cuadro" se sustituye por el plano P1, que no es necesariamente perpendicular con P2, como suele ocurrir entre el plano del cuadro del pintor y el suelo):

La proyección que hemos mencionado es una aplicación entre dos objetos cuyos puntos homólogos están unidos con O mediante una recta.

Para entender adecuadamente las relaciones entre los planos P1 y P2 necesitamos hablar del concepto de homología. Una homología es una transformación geométrica que hace corresponder los puntos de un plano con los puntos de otro plano, cumpliendo unas condiciones:

1. las rectas r y r' que unen puntos homólogos concurren en un mismo punto O, llamado centro de perspectividad o vértice de la homología.

2. las rectas homólogas se cortan en puntos de una misma recta, llamada eje de la homología.

La perspectiva cónica se puede obtener de múltiples maneras, una de ellas mediante la aplicación de la homología. El centro de homología coincide con el punto de vista abatido V o sobre el plano del cuadro, el eje de homología es la línea de tierra LT y en cuanto a la recta límite de la homología la situamos exactamente donde tenemos la linea de horizonte LH. El triángulo abatido sobre el plano del cuadro es la primera figura de la homología, mientras que la figura homóloga del triángulo es la figura en proyección cónica.

Como mencionamos anteriormente, la perspectiva cónica es la principal aplicación de la homología, estableciéndose la siguiente correspondencia entre sus elementos:

En función de la posición relativa de los planos P1 y P2 y la posición del vértice O la homología da lugar a algunos casos particulares que son conocidos, a saber:

Su enunciación sería: en el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos desde un punto si y solo si son proyectivos desde una recta.

Este teorema ofrece un esquema de lo que pasa en la visión perspectiva, teniendo en cuenta que la posición de los planos del suelo y del cuadro son perpendiculares usualmente en una representación en perspectiva, salvo las anamorfosis en los que los planos pueden adoptar diferentes posiciones. En este caso, si consideramos como eje de homología la intersección del cuadro con el suelo, el centro de homología como el ojo del observador, entonces la homología correspondiente sería el mecanismo que el pintor utilizaría para la confección de su pintura tal como se observa en las siguientes ilustraciones: