En el Quattrocento (1400-1500) se inaugura un nuevo régimen visual, caracterizado por la representación del espacio tridimensional ilusorio basado en la perspectiva central (reducción del espacio a términos matemáticos). Mediante él se establece un método convencional de representación del espacio y el volumen de figuras y objetos, y se logrará la sensación de profundidad a través de líneas paralelas convergentes a un punto límite del campo visual, un punto central en la representación que dará nombre a esta técnica perspectiva. Se trata de "la reproducción idealmente bidimensional de las cosas" [1].

Un caso notable del giro que se produce en el Quattrocento es el que experimenta la obra de Fra Angelico. Su obra Tríptico de Cortona (1436-37), realizado antes de la generalización de la perspectiva, refleja todavía el estilo gótico, con fondos dorados, la imagen plana, los personajes hieráticos... Tiempo después, en 1950, pinta el Retablo del convento franciscano de Bosco ai Frati, donde el estilo cambia radicalmente, mostrando una escena con profundidad, los personajes no son planos, sino que poseen volumen y sombras, dialogan entre sí... En ese momento Fra Angelico ya conocía las teorías de Alberti.

No obstante, fue Brunelleschi el primero en realizar el trazado de una perspectiva lineal de un edificio, tal como la entendemos hoy día, es decir, haciendo uso de la sección de la pirámide visual, manteniendo el ojo en una posición fija. A nadie antes que él se le ocurrió aplicar la teoría euclidiana al problema de la representación pictórica de un objeto. Así se concibió ésta como una sección transversal de la pirámide o cono visual, cosa que ya será mucho más evidente en León Battista Alberti. Quedaba pendiente, sin embargo, elaborar un método que, utilizando regla y compás, permitiera a un pintor construir una representación correcta en perspectiva. Esto fue lo que hizo Piero della Francesca en De prospectiva pingendi - "perspectiva de pintor"- diferente ya de la antigua perspectiva naturalis u óptica.

El método brunelleschiano requiere de dos dibujos preparatorios: el alzado y la planta de todo el sistema visual. En cada uno de ellos el cono visual está representado por un triángulo que tiene su vértice en un punto que sería el ojo, y el plano de intersección sería una recta vertical que corta a dicho triángulo. En el alzado hay que representar al objeto en vertical o alzado y en la planta hay que representarlo en horizontal. Ambos diagramas se entrelazan dando lugar a las coordenadas de los puntos de la imagen en perspectiva en un tercer dibujo. Esta construcción se llama Construcción legítima (imagen inferior derecha).

La "construcción legítima" hacía uso de dos diagramas o vistas ortogonales de un mismo objeto, y era utilizada ya por los arquitectos medievales. No obstante, ahora debía aplicarse a cuerpos en movimiento y no solo a edificios y, de este modo, se convirtió en eje central del arte renacentista y del estudio de las proporciones humanas [2].

Entre 1416 y 1420 retoma el concepto de cono visual de Euclides y plantea dos experimentos con los que descubre los principios básicos de la perspectiva cónica. Parece que Brunelleschi descubre la perspectiva de un modo experimental, y no como consecuencia de un desarrollo teórico.

Experimento 2 Obtener una vista del Palacio de la Señoría de modo que se vieran las dos fachadas.

Con estos experimentos Brunelleschi establece un principio fundamental en perspectiva: las líneas paralelas deben converger en un mismo punto en el horizonte, llamado punto de fuga, y que los elementos de la composición pictórica se hacen más pequeños cuanto más alejados estén del ojo del observador.

Estas ideas fueron pronto adoptadas por artistas que las aplicaron en sus obras, como Masaccio.

Una década después de que Brunelleschi hiciera sus pinturas en perspectiva, desgraciadamente desaparecidas, Alberti escribió Della Pittura en 1434, a la edad de 30 años. En él propone un método matemático explícito que permite representar el espacio tridimensional sobre un plano. Alberti insiste una y otra vez en el enfoque práctico de su escrito, dirigido a los pintores y no a los matemáticos. Puede que esto determinase el hecho de que en el tratado no exista ninguna demostración gráfica.

Alberti propone un método de composición pictórica en que hay que establecer una línea horizontal (línea del horizonte) y un plano base, que servirá de escenario en el que situar los edificios, los objetos, las figuras, en un todo ordenado por un entramado de líneas ortogonales que darían escala a los elementos del cuadro [3].

Esta obra marca un punto de no retorno en la historia del Arte. A partir de ella la pintura no volverá a retornar ya a los viejos métodos de la Edad Media. Los pintores del Renacimiento aplicarán rápidamente las nuevas ideas contenidas en este tratado, provocando una verdadera revolución en el Arte. Artistas teóricos como Piero della Francesca o Leonardo tomarán de este libro muchos conceptos. Por otro lado, Alberti insiste en que el artista ya ha dejado de ser un artesano, cuyo oficio se basaba en la técnica, para desarrollar ahora una actividad más intelectual basada en la matemática y la geometría.

Alberti considera la altura del observador como la base en la construcción de la perspectiva; pero esta no es necesaria para describir su método. La importancia de este método es la de tener un gran valor histórico, al ser uno de los primeros métodos sistemáticos de búsqueda de la representación en perspectiva de un objeto. El procedimiento ideado por Alberti consiste en la siguiente secuencia algorítmica:

1. Se divide la línea de tierra formando un sistema métrico de unidad en verdadera magnitud.

2. La altura del observador determina la línea de horizonte H.

3. En la mitad de esta línea se ubica el punto V, en la cual convergen las ortogonales que parten de las divisiones hechas en la línea de tierra.

4. En el plano lateral se trazan las líneas desde las unidades de la escala métrica real en profundidad hasta el observador Q, cortando el plano del cuadro en determinados puntos, estos se marcan al lado del cuadro.

5. Por estos puntos se trazan paralelas a la línea de tierra, formándose un embaldosado que servirá como referente de medida en profundidad para la determinación de espacios.

Los embaldosados y ajedrezados se convierten desde un principio en objetos de estudio arquetípicos. Como hemos visto, Alberti ya lo utiliza como primer modelo de representación perspectiva y, más adelante, se convierten en multitud de pinturas de esta época en una especie de sistema de referencia en el que situar los personajes y objetos de la composición pictórica; estas cuadrículas dotan a la representación de una gran profundidad al remarcar las direcciones de fuga en la escena.

El ajedrezado del suelo permite la toma de medidas y distancias de las figuras que se ordenan sobre él. Se puede considerar al ajedrezado de baldosas como el primer ejemplo de un sistema de coordenadas, como puede apreciarse en el cuadro de Tintoretto, El Lavatorio, que mostramos más adelante.

Antes de que Alberti publicara su tratado encontramos en el cuadro La Anunciación de Lorenzetti el primer intento exitoso en el que las ortogonales del suelo convergen a un punto único.

A Alberti se le atribuye un dispositivo ingenioso, el denominado Velo de Alberti, un artilugio que permitía realizar imágenes en perspectiva a partir de dos cuadrículas, una en frente del artista y otra en el papel donde se iba a realizar el dibujo. Será muy utilizado a partir de entonces.

Durero tiene algunos grabados en los que se ilustra el uso de este instrumento.

Este artista introducirá también otros artilugios para dibujar en perspectiva, como el llamado Portillón de Durero (ver Artistas>Alberto Durero), con los que se establecen procedimientos mecánicos para hacer perspectivas.

Durero sería autor de tratados de corte geométrico en los que abordaría temas sobre líneas, superficies y cuerpos y estudios de construcciones como las hélices y las cónicas así como de polígonos regulares, sobre todo el pentágono y sus aplicaciones a los poliedros.

No serán los únicos, porque se irán sumando nuevos artefactos a partir de entonces. Como ejemplo mencionaré el perspectógrafo, una máquina de dibujar con la que se consiguen también trazados en perspectiva. Se basa en la semejanza geométrica entre el modelo y la figura dibujada, y emplea varillas articuladas en forma de paralelogramo.

Uno de los precursores del Renacimiento en pintura. En sus obras se encuentra ya un empleo correcto de la técnica perspectiva.

Su obra La Trinitá (en Santa María Novella, Florencia) contiene varios niveles de lectura. Es una de las pinturas más representativas de ese periodo -se cree que fue la tercera pintura realizada en perspectiva-. En esta pintura hace una perspectiva coherente, quizá influenciado por Brunelleschi implementa una perspectiva central, pero no tenemos registro alguno de como lo hizo.

El punto de fuga queda sorprendentemente bajo, prácticamente a la altura del espectador.

Es tal vez el pintor del Renacimiento con mayor preparación matemática, y se sabe que poseía traducciones de obras de Arquímedes y Euclides. Vasari lo consideró "el más grande geómetra de su tiempo". De hecho, escribió tratados sobre álgebra y geometría, y sobre todo es el autor de De Prospectiva Pingendi (c. 1474), un tratado clásico de perspectiva dirigido fundamentalmente a los artistas. Pese a este interés didáctico, es claro también que se plantea en él las dificultades de la representación realista como un problema matemático al que había que dar solución.

Piero, a diferencia de Alberti, plantea un método exacto que le permite la representación en perspectiva de cualquier punto en el plano de planta, un método que requiere de mucha paciencia debido a su construcción, pero como recompensa se consigue gran exactitud matemática.

De Prospectiva Pingendi se inicia con el estudio de las figuras planas; la primera es el cuadrado, que es subdividido para dibujar en su interior varios polígonos regulares. En el libro I presenta el "método de la diagonal" para obtener la proyección perspectiva de una figura situada en una base sobre un plano perpendicular a la base, cuando la figura está en un cuadrado que tiene uno de sus lados en la intersección de los planos y del que tenemos su proyección [4].

El método consiste en dos partes: la primera es la representación en perspectiva de un cuadrado y la segunda es la proyección perspectiva de un punto dado.

En este tratado Piero demuestra sus extraordinarios conocimientos de esta ciencia, y mostró a los pintores cómo representar sólidos de complejidad creciente tales como columnas, arcos,… Fue el primero en dibujar poliedros regulares en perspectiva.

El Libro III estudia figuras más complejas como capiteles, bases de columnas o cabezas humanas. El método empleado consiste en elegir puntos que definan al objeto y encontrar su proyección del forma que al unirlos mediante una línea reproducen la figura. Hace representaciones en los métodos del sistema cónico geométrico, anticipándose con ello a Monge y Poncelet.

Tanto Piero como Ucello utilizaron la planta y el alzado de los objetos junto con líneas ortogonales para la representación de objetos geométricos y elementos arquitectónicos, aplicando el método de la construcción legítima, como se puede ver a continuación.

En su obra es siempre perceptible un enfoque estructurado y geométrico, influenciado por Masaccio y su empleo del punto de fuga, y un uso de la perspectiva con la que crea una gran ilusión de espacio tridimensional en sus pinturas, como puede verse en La Pala de Brera o en La Flagelación.

La Pala de Brera

Se trata de una pintura icónica, en la que se representa, en perspectiva central, un grupo de personajes, presididos por la Virgen -en cuyo rostro cae el punto de fuga-, en un espacio arquitectónico simétrico.

El dominio de la perspectiva propició la búsqueda de nuevos puntos de vista. La Flagelación es considerada el punto de inicio del ilusionismo tridimensional del primer Renacimiento. Kenth Clark la consideraba "la más grande pintura pequeña del mundo".

La obra muestra dos escenas diferentes, separadas física y temporalmente. En la escena del fondo se representa la flagelación de Jesús, mientras que la escena que se muestra en primer plano es una escena actual; el formato rectangular se ajusta a la proporción áurea donde la columna determina la sección áurea; la cuadrícula del suelo acentúa la profundidad de campo de la escena, escena que vista en perspectiva caballera amplifica el espacio enormemente tal como pone de relieve el estudio que Plácido Longo hizo de la obra.

Ejerció una gran influencia en autores como Luca Paccioli, que fue alumno suyo, y a través de este en Leonardo da Vinci.

El pintor florentino Paolo Ucello también fue un excelente artista-matemático. Aprendió la técnica de la perspectiva en el taller de Ghiberti. En su obra La Batalla de San Romano Paolo Ucello utilizó la perspectiva de manera innovadora: las lanzas rotas en el suelo convergen según líneas de perspectiva.

Disponemos de algunos de sus dibujos de objetos geométricos en perspectiva que se han hecho muy célebres, entre ellos el mazzocchio.

El mazzocchio es la geometrización del sombrero florentino en forma de círculo. Paolo Ucello hizo varias representaciones de este objeto. Por ejemplo, en el Diluvio incluye dos mazzocchi dibujados geométricamente gracias a la representación del círculo por puntos, los cuales son representados como poliedros con múltiples facetas alternando el negro y el blanco en damero.

El mazzocchio fue un tema que se convirtió en casi una obsesión para el artista. Ejercicios de perspectiva de objetos geométricos como los poliedros se convirtieron en un buen entrenamiento en la técnica de la perspectiva para los artistas del Renacimiento, como se puede constatar en el caso de Piero della Francesca, Leonardo da Vinci o el mismo Paolo Ucello.

Un gran maestro de la perspectiva cónica fue también Leonardo da Vinci, como puede verse en el estudio para la Adoración de los Magos, en el que se muestran los trazados previos y las fugas del armazón compositivo.

También en su famosa La última cena, en el que todas las líneas fugan al rostro de Jesús, sentado en el centro de la composición.

Se cree que Leonardo aprendió la técnica de la perspectiva siendo alumno en el taller de Verrochio. Su interés teórico por la perspectiva la encontramos reflejada en su Trattato della pittura. En él dice que la perspectiva "no es más que ver un lugar o un objeto tras un cristal en cuya superficie se van a representar los objetos". Descubre la ley de la perspectiva inversa según la cual el tamaño aparente de una figura se divide por la mitad al doblar la distancia, por un tercio si se triplica la distancia, ... Por otro lado, Leonardo encontró una limitación a la perspectiva geométrica a la hora de dotar de profundidad y lejanía a una representación pictórica. Para ello relacionó la distancia con la tonalidad, concluyendo que el pintor debe utilizar gradaciones al azul cada vez más tenues cuando los objetos están cada vez más alejados en el horizonte, descubriendo con ello la perspectiva aérea (ver Artistas>Leonardo da Vinci), una perspectiva que no afectaba a las magnitudes relativas sino al color y que contribuía a aumentar la sensación de profundidad.

Las tres consideraciones que hizo Leonardo sobre la perspectiva (tamaño, cortorno y color) nos indican que para él la visión perspectiva no era sólo un problema geométrico y de proyecciones, sino que también influye la modificación que produce la capa de aire interpuesta entre los objetos y el espectador.

Un ejemplo de la evolución de las técnicas perspectivas desde tiempos de Giotto hasta el Quattrocento y Cinquecento lo encontramos en la siguiente comparación de dos obras representativas de cada una de esas épocas. La obra de Giotto adolece de varios puntos de fuga, colocados sobre una vertical, en espina de pez; la obra de Rafael es un ejemplo perfecto de perspectiva central.

La obra anterior de Rafael está claramente inspirada en la de su maestro Perugino. Ambas son obras que exhiben una fuerte simetría, exponentes de perspectiva lineal.

La obra de Rafael, La escuela de Atenas, tiene una perspectiva central perfecta. Rafael aprendió de Leonardo da Vinci esta técnica, que aparece en el centro representado como Platón.

Artistas del Cinquecento como Tintoretto muestran su maestría en el uso de la perspectiva, creando escenarios de gran profundidad en los que sitúa grupos de figuras dotados de gran autonomía y diversidad de movimientos sobre ajedrezados que se extienden casi a la línea del horizonte.

Tintoretto empleó aquí tanto una perspectiva cónica frontal como aérea.

Será en el Barroco cuando matemáticos como Pascal, Fermat, Desargues, Poncelet,... lograrán plasmar todas estas ideas en lenguaje matemático, desarrollando una geometría nueva de gran generalidad: la Geometría Proyectiva.