La cuarta dimensión

El descubrimiento de geometrías no-euclidianas en el siglo XIX supuso una conmoción que sacudió los cimientos de una de las ramas más firmes del conocimiento humano, tal como era considerada la Geometría desde la antigüedad, crisis debida a las investigaciones en este terreno por Gauss, Lobachevsky y Bolyai, y que no será resuelta e incorporada a la matemática por derecho propio hasta los trabajos de Riemann, Beltrami y Klein, entre otros, todavía en el siglo XIX. El enfoque dado por  Riemann a la geometría en su disertación Sobre las hipótesis que sirven de base a la Geometría [1], de 1854, es el primer intento científico consistente de análisis de espacios multidimensionales (Kant se había referido ya a ello como posibilidad [2]). 

Con los trabajos de Riemann cobran especial importancia los espacios de más de tres dimensiones con curvaturas no nulas. Este autor habla de variedades multidimensionales, que habrían de resultar esenciales para la nueva física: la teoría de la Relatividad General precisaría del enfoque geométrico de Riemann y de sus espacios curvos. Todas estas teorías científicas pronto impregnarían discursos y prácticas artísticas. 

Aunque siempre había existido la abstracta noción de un mundo de dimensión superior, el concepto científico de una cuarta dimensión geométrica tardó en desarrollarse [3]. En Física no es hasta la aparición de la teoría de La relatividad especial de Einstein en 1905 y, sobre todo, a la formulación matemática precisa que de ella hizo el alemán Minkowski, que no se habla con cierto rigor de espacio tetra-dimensional como una entidad en sí [4], imagen del continuo espacio-tiempo. 

Veremos como la adopción a veces ingenua, a veces irónica, de la noción de la cuarta dimensión es un hecho ya en el Cubismo.

Muchos artistas, entre los cuales podemos citar tempranamente a Cezanne o Seurat - y pronto los cubistas-, empezaron a plantearse en el ámbito artístico el problema de las dimensiones; ya en el Renacimiento se había resuelto el paso de 3 a 2 dimensiones con la técnica de la perspectiva; ahora, se trataba de prescindir de la perspectiva. Cezanne ya se había enfrentado al problema de construir un volumen sobre una tela plana utilizando la facetación; este artista intentó a su modo liberarse de la tiranía de la tridimensionalidad; su espacio no es el espacio renacentista, un espacio ilusorio creado por medio de la ordenación de ratios, claroscuros o gradaciones de color, sino mediante la compensación de volúmenes, variando distancias entre planos verticales, creando ritmo y tensión para sugerir profundidad, siempre desde la misma bidimensionalidad.

Los cubistas reemplazan la visión geométrica del espacio heredada del Renacimiento - perspectiva absoluta y unitaria, a priori - por su visión polivalente cuya unidad es obtenida por la unión de aspectos discontinuos. Así son conmovidas la tercera dimensión y las leyes de la “visión lejana”. Como el mismo Braque dirá: “Lo que más me atraía, y lo que era el principio rector del cubismo, era la materialización de este nuevo espacio que percibía” [5], un concepto de espacio que se hacía eco del alboroto producido por el pensamiento matemático y físico que hizo su aparición en el nuevo siglo, pensamiento que acariciaba la idea de comprender definitivamente la esencia tanto del espacio como de la materia y de la energía. La relatividad unificará las dos últimas y las ligará  íntimamente con la primera.

Un personaje llamado Maurice Princet, actuario de seguros y aficionado a las matemáticas (considerado por Metzinger como un inteligente matemático, creador de una nueva geometría y que será conocido como "el matemático del cubismo") [6], introduce a los pintores cubistas en los secretos de la geometría tetradimensional a través del libro de Esprit Jouffret, Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions (Paris, 1903), -inspirado a su vez en Ciencia e Hipótesis de Poincaré - en el que este autor, matemático también, incluyó Ilustraciones para describir objetos de cuatro dimensiones, como el hipercubo y otros poliedros, y sus proyecciones bidimensionales; se cree que pudieron servir de inspiración al típico facetado del cubismo. Se sabe que Princet introdujo a Picasso en la teoría geométrica de la cuarta dimensión y de las geometrías no-euclidianas allá por 1907. 

Por otro lado, revestir de un carácter pseudocientífico los planteamientos artísticos del cubismo fue un anhelo del poeta Apollinaire, quien no dudó en calificar de Cubismo Científico – el de Picasso, Braque, Gleizes, Metzinger y Juan Gris -a una de las tendencias de este estilo, una tendencia pura, cuya finalidad es la de crear composiciones a partir de “elementos extraídos no de la realidad de la visión, sino de la realidad del conocimiento” [7]. Fue este poeta quien primero vinculó públicamente a los artistas con la cuarta dimensión (se puede constatar este hecho en su escrito Pintores Cubistas de 1913 [8]). Por su lado, Gleizes y Metzinger, en Cubismo (1912), explicaban que este estilo no se podía comprender partiendo de la geometría tradicional - constatando así el agotamiento de la geometría euclidea para los fines de la pintura cubista -, en estos términos: 

No hay que caer en el error de afirmar que el estilo cubista es una consecuencia directa de la aplicación de estas nociones al ámbito artístico, pero es necesario destacar, no obstante, que los artistas cubistas le atribuirán de un modo deliberado una gran importancia para su arte, quizá por su carácter de ideas revolucionarias, difíciles y misteriosas. Tal es el caso del grupo de Puteaux (Gleizes, Metzinger, Marcel Duchamp, Léger, Juan Gris y el poeta-crítico Apollinaire, mencionados anteriormente); este grupo se apropia de los “arcanos matemáticos” como consignas y ficciones útiles, en su afán de incluir en el cuadro distintos puntos de vista simultáneos sobre un mismo objeto (ver la taza de té en Tea Time), liberando a la pintura de la ley de la perspectiva.

Picasso dirá: "Yo pinto los objetos como los pienso y no como los veo". Lo cual explica su apartamiento del canon perspectivo. Los pintores cubistas asociaron el espacio de la perspectiva renacentista con el espacio euclídeo tridimensional, mientras que el nuevo espacio de la pintura que ellos introducen lo asocian con la cuarta dimensión y las geometrías no euclídeas. También asociaban la cuarta dimensión con el infinito, una asociación metafórica con la que pretendían significar que la tercera dimensión era una prisión para el arte, mientras que la cuarta dimensión los liberaba de tanta rigidez y encorsetamiento.

La cuarta dimensión cubista se materializó en la visión múltiple de las distintas facetas de un objeto, es decir, los múltiples puntos de vista sincrónicos tan característicos de las obras de Braque o Picasso. Apollinaire definió la cuarta dimensión como “la inmensidad del espacio eternizándose en todas dimensiones en un momento determinado" [11], de un modo bastante poético. Posteriormente la cuarta dimensión se identificaría con el tiempo (Futurismo) y la gravedad (Duchamp) o la antigravedad (Malevich, Lissitzky, von Doesburg).

Algo más tarde, en 1930, Georges Vantongerloo escribe extensamente sobre la relación entre arte y matemáticas en su escrito Plástica Artística, y es más, cita trabajos de matemáticos de primera fila como el ya mencionado Henri Poincaré [12] - también leído por Duchamp-, uno de los matemáticos franceses más influyentes de principio de siglo, actor fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad y gran divulgador científico.

El italiano U. Boccioni es uno de los fundadores del Futurismo, movimiento vanguardista que manifiestó un gran interés por el mundo mecánico y tecnológico de su tiempo. El futurismo ofrece una visión dinámica de la cuarta dimensión, frente a la visión estática del cubismo. Profundamente influido por las ideas geométricas de espacios multidimensionales de Hinton, con Formas únicas de continuidad en el espacio Boccioni crea una figura que muestra el movimiento de una persona al andar. Es por tanto la representación tridimensional de un hecho que acontece en el espacio-tiempo. Boccioni, en su obra, esculpe el tiempo.

Obsesionados con la velocidad y el movimiento, los futuristas plasman en sus pinturas secuencias completas de movimientos  congeladas en el tiempo, de forma simultánea, tal como habían hecho fotógrafos como Muybridge o Marey en sus cronofotogramas, produciendo la sensación de gran dinamismo y energía.

Este autor, G. Balla, consideró en Manifiesto sobre el color (1918) que "[...] dada la existencia de la fotografía y la cinematografía, la reproducción pictórica naturalista no interesa ni puede interesar a nadie." [13] Es decir, la fotografía y el cine fueron factores que propiciaron la deriva no naturalista que el arte adoptó durante las primeras vanguardias del siglo XX y están detrás del surgimiento del arte abstracto.

Tal como afirma Linda D. Henderson, la cuarta dimensión fue una vía o un símbolo de liberación que encontraron muchos artistas para escapar del corsé de la perspectiva única. Las ideas de Hinton fueron influyentes en los círculos cubistas y en Duchamp, aunque éste último se dejó influenciar más por la novela de Gaston Pawlovski, Viaje a la cuarta dimensión, que lee y vincula luego con su obra Gran Vidrio.

Duchamp dedicó bastante tiempo a Gran Vidrio, escribiendo prolijas notas preparatorias en las que exploraba la creación de una novia tetra-dimensional. Utilizó el pretexto de la cuarta dimensión como una “metáfora del clímax amoroso” [13], alegoría del carácter supremo del amor, una especie de realidad inaccesible fuera de este mundo tridimensional. En la parte superior de la obra Duchamp habría representado la novia tetradimensional proyectada en tres dimensiones, mientras que en la parte inferior se encuentran los nueve solteros presos en su mundo tridimensional.

Al parecer Duchamp había leído también obras de Flammarion, Jouffret y Bragdon sobre la geometría n-dimensional aunque, como apunta Marchán Fiz, su actitud real ante las teorías científicas fue de gran escepticismo y pocas veces las tomaba en serio [14]. Fuera o no esta la intención de Duchamp, el hecho es que, por testimonio directo del artista, el planteamiento de la obra le fue sugerido al saber que un objeto cualquiera que habita en una dimensión n determinada proyecta su sombra en un espacio de dimensión n-1 y que, por lo tanto, los cuerpos tetradimensionales deben poder visualizarse en sus distintas proyecciones en un espacio tridimensional.

La siguiente pintura, Desnudo bajando una escalera, fue rechazada por los cubistas y causó un verdadero escándalo -Gleizes se negó a exponerla en el "Salón de los Independientes", dedicado al Cubismo-; en ella vemos como una especie de estructura mecanoforme parece descender una escalera, cuyo movimiento es registrado en un continuo espacio-temporal, como si la dimensión temporal hubiera sido congelada presentando múltiples perspectivas de un modo sincrónico, una pintura que se encuentra a medio camino entre el cubismo, el futurismo y el dadaísmo. Pero es innegable la influencia de fotógrafos como Marey, cuyas cronofotografías son un claro precedente, como el mismo Duchamp reconoció. 

Tenemos constancia de cuánto le impresionó a Duchamp los resultados obtenidos por J. E. Marey con sus fotografías científicas - secuencias de movimientos congelados-, y de qué manera lo trasladó a su obra. [15]

La obra de Malévich en el periodo suprematista acusa también la influencia de la filosofía hiperespacial del matemático C.H. Hinton y del escritor esotérico P.D. Ouspensky.

En 1914 fue cuando se publica la obra de Ouspensky La cuarta dimensión, y es el año en que Malévich comienza también a adentrarse en los aspectos más esotéricos y místicos de su pintura y a establecer conexiones entre estos y la cuarta dimensión, creando un nuevo estilo que llamó suprematismo. Sus primeras obras suprematistas datan de 1915, pero no fue hasta la exposición titulada Última exposición futurista: 0: 10 que no alude a los principios de éste con frases como "Supremacía de la pintura". Las obras de esta exposición fueron divididos en dos categorías: masas de color en la segunda dimensión y masas de color en la cuarta dimensión, en la que destaca la obra Realismo pictórico de un jugador de fútbol (masas de color en la cuarta dimensión), de 1915. 

Una de las preocupaciones, por tanto, de Malévich en este período es expresar la cuarta dimensión en una clave esotérica y mística, influido claramente por las ideas de Ouspensky:

El suprematismo de Malévich había reducido ya las formas a formas geométricas fundamentales, especialmente el rectángulo y el círculo. Pretendía construir un mundo de formas puras que propiciara también una percepción pura que elevara al espectador a una conciencia cósmica.

Este autor creía que había dimensiones espaciales más allá de las tres dimensiones (había quien, incluso, asociaba esta cuarta dimensión con el mundo de los espíritus, como el físico alemán Johann Zöllner, que llegó a avalar experimentos espiritistas de mediums como Henry Slade que había sido ya condenado por fraude). Su creencia en la cuarta dimensión espacial fue perdiendo fuelle a medida que la teoría de la relatividad fue ganando terreno, popularizando la cuarta dimensión temporal. 

Hinton trataba de entender cómo era una figura de cuatro dimensiones. Si un cuadrado está limitado por líneas, y un cubo está limitado por cuadrados, entonces un cubo de cuatro dimensiones debe estar limitado por cubos tridimensionales. Este razonamiento es el que permite visualizar el Teseracto tridimensionalmente como hizo Dalí en su Corpus Hipercubus.

El hipercubo es un politopo en el espacio de 4 dimensiones o, dicho de otro modo, es lo que podríamos considerar la generalización del cubo tridimensional en 4 dimensiones. En realidad, podemos hablar de cubos en cualquier dimensión, llamados n-cubos (ver Geometría y Arte>Figuras y cuerpos geométricos>El Hipercubo). El 4-cubo se denomina también Teseracto, y está constituido por 24 caras bidimensionales cuadradas, 8 caras tridimensionales cúbicas, 32 aristas y 16 vértices.

Por tanto es un objeto que habita en el espacio tetradimensional y ha llamado la atención de muchos artistas, que lo han plasmado en obras en todas las formas posibles en que se puede visualizar en el espacio tridimensional. Por ejemplo, una de las obras icónicas que tiene al teseracto como uno de los elementos principales es la obra de Dalí, Corpus Hipercubus, de la que hablaremos en el siguiente apartado.

Vemos a continuación dos obras en las que la proyección tridimensional del hipercubo/teseracto es protagonista.

Dalí quería ir un poco más allá que Cezanne o Seurat, centrados en el plano pictórico;  estaba interesado en construir objetos de cuatro dimensiones, no solo simular las tres dimensiones en el plano. Una primera aproximación al tema lo tenemos en su conocido Corpus Hipercubus, de 1954, donde aparece una representación tridimensional del hipercubo de dimensión 4 o teseracto.

La siguiente pintura se llama A la búsqueda de la cuarta dimensión; en ella Dalí incluye un grupo de varios elementos con una fuerte carga simbólica: el reloj blando hace referencia al espacio-tiempo de Einstein; el dodecaedro, una vez más en el caso de Dalí, hace alusión a la proporción áurea; hay guiños a la Escuela de Atenas, de Rafael, con la aparición de las dos figuras de espaldas que recuerdan a Platón y Aristóteles. 

El matemático Nathaniel Friedman, de la Universidad de Albany, ha acuñado los términos Hipersensibilidad e Hiperesculturas. La Hipersensibilidad es una manera de ver objetos tridimensionales de una forma completa; es decir, es la visión de un objeto tridimensional desde el espacio de 4 dimensiones, llamado hiperespacio, desde el que podemos ver simultáneamente todas los lados de un objeto. Este tipo de visión, como señala Friedman, era ya conocida por los artistas cubistas (Braque, Picasso, Duchamp,...), que representaban distintas vistas de un mismo objeto simultáneamente, pero era una visión en un espacio bidimensional. Una hiperescultura sería un conjunto de esculturas que se encuentran relacionadas en algún sentido, entendiendo que este "estar relacionado" tiene que ver con el hecho de referirse al mismo objeto, es decir, al hecho de que son vistas de un mismo objeto desde un determinado punto de vista. Las hiperesculturas ofrecen una forma más completa de presentar el contenido tridimensional de dicho objeto. En cierto modo, una hiperescultura permite la hipervisión de un objeto tridimensional.

Attitudes es una hiperescultura consistente en seis copias del mismo objeto, cada uno en una base independiente. El objeto consiste en un rectángulo, un paralelogramo y dos triángulos. 

La gente que contempla las seis esculturas no se da cuenta de que son el mismo objeto. De este modo Attitudes es un ejemplo excelente de como una hiperescultura presenta secciones tridimensionales de un objeto de un modo bastante completo.

Un politopo es un término genérico para designar en matemáticas aquellos subconjuntos de un espacio euclídeo de cualquier dimensión, tales como polígonos, poliedros, etc., que se construyen con elementos rectilíneos. En dimensión cuatro hay 6 politopos regulares (que serían lo equivalente a los 5 poliedros regulares que hay en dimensión tres): el pentacoron (5-celdas), el teseracto (8-celdas), el hexadecachoron (16-celdas), el octacube (24-celdas), el hecatonicosacharon (120-celdas) y el hexacosichoron (600-celdas).

Un método para visualizar estos objetos de 4 dimensiones es la Proyección estereográfica, debida a Schläfli. La Proyección estereográfica normal utiliza la esfera y el plano tangente a dicha esfera S2 en el punto Sur. Una esfera S3 en dimensión 4 se define igual: conjuntos de puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. Esta esfera tiene dimensión 3, igual que la esfera S2 tiene dimensión 2, o una esfera S1 (un círculo) tiene dimensión 1,... en general, una esfera Sn tiene dimensión n-1.

La proyección estereográfica presentada por Hiparco proyecta la esfera S2 sobre el plano tangente al polo sur. Se puede proceder exactamente de la misma manera con la esfera S3. Tomamos el espacio tangente a la esfera S3 en su polo sur, que es de dimensión 3 y podemos ya proyectar cualquier punto de S3 , salvo su polo norte, sobre este espacio. Basta para ello prolongar la recta que pasa por el punto y el polo norte hasta que esta corta al espacio tangente en el polo sur... . 

La idea para obtener la proyección estereográfica de un poliedro de dimensión cuatro consiste en inflar el poliedro hasta que este esté dibujado sobre la esfera S3. Ahora se puede proyectar estereográficamente sobre el plano tangente al polo sur, que es “nuestro” espacio de dimensión 3 y así podemos observar la proyección.

Podemos también hacer rodar la esfera S3 sobre su espacio tangente y proyectar después para observar la danza del poliedro. Hay que señalar que cuando la rotación de la esfera lleva una cara del poliedro a pasar por el polo de la proyección, la proyección de la cara se hace de tamaño infinito y da la sensación de que explota sobre la pantalla. 

Tras la escultura Octacube, diseñada por Adrián Ocneau, subyace una matemática compleja basada en la anterior exposición. Si partimos de un politopo convexo regular de cuatro dimensiones cuyo conjunto de vértices sea la unión de los conjuntos de vértices para el cubo de cuatro dimensiones {(± 1, ± 1, ± 1, ± 1) } y el octaedro cuatridimensional {(± 2,0,0,0), (0, ± 2,0,0), (0,0, ± 2,0), (0,0,0, ± 2 )} y consideramos, a continuación, el esqueleto de este politopo (vértices y bordes) y lo proyectamos radialmente a S3 ⊂ ℝ4. Si Proyectamos ahora el "politopo inflado" resultante estereográficamente a ℝ3 y se "engordan" los bordes de modo que la sección transversal de un borde ya no sea solo un punto, sino una forma de Y (vea las esquinas de la escultura), lo que se obtiene es la escultura que se muestra abajo. 

Otro politopo en dimensión 4 es la 120-celda o Hecatonicosacharon. Este politopo regular está formada por 120 dodecaedros iguales adosados por sus caras (720 pentágonos). Tiene 600 vértices y 1200 lados. Sería el equivalente en dimensión 4 a un dodecaedro de dimensión 3.  E, igual que el dodecaedro se puede proyectar sobre la esfera S2 (balón de fútbol), también la 120-celda, contenida en la esfera S3, se puede proyectar en el espacio el espacio de 3 dimensiones tal como se puede ver en la figura inferior. En ella observamos como los dodecaedros se curvan de forma que los pentágonos son trozos de esferas y las aristas porciones de circunferencias.

El Dimensioanalismo es un movimiento intelectual y artístico que busca superar el estrecho marco de las tres dimensiones, investigando, en su ámbito propio, espacios de más dimensiones, y utilizando en su trabajo tanto la intuición como herramientas matemáticas y científicas en general. Nace en 1987 fruto de la colaboración entre científicos y artistas, que partiendo de presupuestos muy diferentes llegan a resultados semejantes, probando que en el espacio físico y matemático existen mecanismos que nos permiten llegar a otras dimensiones.

Uno de sus representantes artísticos más destacados es el escultor italiano Attilio Pierelli. Sus obras "se desplazan en el espacio, se deforman al contacto con la luz y se lanzan en diversas direcciones creando superficies cóncavas y convexas que se atraen como elementos complementarios" [17].  La obra de Pierelli recurre a una gran cantidad de teorías científicas y matemáticas y sus esculturas son un nexo entre la geometría descriptiva y los métodos matemáticos del álgebra y del cálculo diferencial e integral.

TEST (Traction of Events in Space-Time) es una escultura realizada como trofeo para los Grossmann Awards de Astronomía. Se basa en una investigación científica que se centró en el cálculo del movimiento geométrico de cinco partículas que se mueven en el espacio-tiempo de acuerdo con la aplicación de una solución de las ecuaciones de Einstein; la materialización in vitro y la réplica visible del descubrimiento de un fenómeno existente en nuestra propia galaxia, un agujero negro, una masa estelar que es succionada por el colapso gravitacional bajo el efecto de su propia gravedad. 

Las primeras esculturas de espejo pertenecen al período en el que estudia la relatividad y la ciencia en general, en particular el concepto de espacio en relación con la cosmología, en el que es importante averiguar cuál es la forma del espacio-tiempo como sección tridimensional. En este contexto Pierelli nos propone su Universo Octaedral.

En su investigación artística obtiene resultados plásticos muy importantes sobre la visualización del concepto de espacio relativo a la cuarta dimensión geométrica, a curvas (Geometrías no euclidianas), y en el conocimiento topológico más avanzado de superficies extremas.