Vidensmål i videnskabsfaget matematik
Videnskabsfaget matematik handler om at se mønstre, rum, former og sammenhænge i naturen, og gengive disse abstrakte strukturer i symbolsk form. Det matematiske sprog er således en kreativ konstruktion, der er udviklet til at analysere, beskrive og forstå verden. Videnskabsfaget matematik beskæftiger sig med en række problemstillinger, der er specifikke for matematikken, men derudover er matematik også et redskab som anvendes inden for mange andre fagområder, bl.a. biologi, økonomi og fysik. Videnskabsfaget matematik har således to vidensmål, nemlig at få indsigt i tallenes egenskaber, geometriske figurer og andre abstrakte strukturer og at beskrive sammenhænge i naturen ved hjælp af disse abstrakte strukturer. Udviklingen af matematikken har været drevet af dette dobbelte vidensmål, nemlig selve ønsket om abstraktion og generalisering på den ene side og forsøg på at løse forskellige problemer både af ren matematisk natur og problemer, der er opstået ved matematisk beskrivelse af naturen eller menneskeskabte fænomener på den anden side. De abstrakte strukturer som formuleres inden for problemstillinger, der er specifikke for matematikken, er i høj grad nomotetiske, idet matematikfagets vidensmål kun sigter mod universelle træk ved de abstrakte strukturer. Ved anvendelse af matematikken som redskab til at beskrive sammenhænge i naturfænomener og menneskeskabte fænomener formuleres ofte nomotetisk viden, men ikke udelukkende da formulereing af en hel del matematiske modeller er idiografiske, idet konstrueres (og fittes) til at beskrive særlige fænomener.
På trods af fagets opsplitning i ren matematik og anvendt matematik er faget meget monoparadigmatisk. Der findes i praksis ingen uenigheder om hvilke spørgsmål som er matematisk relevante eller om reglerne og rammerne for bevisførelse og der findes ikke konkurrerende teorier.
Metoder i videnskabsfaget matematik
Når man ser på matematikkens metoder inden for forskningsfaget, bør man i forlængelse af og overensstemmelse med skellet med de to vidensmål også skelne mellem skabelsen af matematisk viden og anvendelsen af matematisk viden.
Når matematikere forsøger at undersøge og formulere nye sammenhænge mellem abstrakte strukturere er tilgangen eksplorativ. I en eksplorativ undersøgelse af nye sammenhænge anvendes en række eksisterende matematiske sætninger og viden, men metoden til at undersøge og formulere de nye sammenhænge kan ikke reduceres til en deduktion slutning ud fra eksisterende viden. De eksplorative undersøgelser er kreative og læner sig mere op ad en induktiv metode. Når kimen til nye sammenhænge mellem abstrakte strukturer er formuleret på baggrund af en eksplorativ undersøgelse, sker et skift metoden, idet formålet nu er at bevise gyldigheden af de nyformuleret sammenhænge. Her anvendes en ren logisk aksiomatisk-deduktiv metode, hvor den nye viden skal kunne udledes deduktivt ud fra grundlæggende matematiske aksiomer for at være gyldig viden. Der er her vigtigt at skelne mellem matematisk gyldig viden, som er bevist, i modsætning til gyldig viden udtrykt i naturvidenskabelige love, som er sandsynliggjort. Metoden i bevisførelse i matematik er således ikke hypotetisk-deduktiv, men derimod aksiomatisk-deduktiv.
Når matematik anvendes som redskab til at beskrive naturfænomener og menneskeskabte fænomener tilgangen også eksplorativ. Ud fra data opstilles matematiske modeller gennem en induktiv metode. Ud fra formålet med undersøgelsen sættes krav til modellens anvendelighed, og modellen kan ved hjælp af en mere elle mindre styret trial and error proces ændres indtil den beskriver fænomenet i en tilfredsstillende grad.
Det gælder for begge vidensmål at de afdække og beskriver (logiske) kausale sammenhænge og indeholder ingen intentionelle forklaringer.
Metoder i gymnasiefaget matematik
Gymnasiefaget matematik er i de seneste år gennemgået en ændring, hvor fokus på tilegnelse af matematiske redskaber og evnen til at modellere er øget og hvor bevisførelse indtager en meget perifer rolle. Eleverne vil her primært blive præsenteret for en række matematiske teorier og redskaber (herunder en del matematisk symbolsprog), som de ikke selv forventes at kunne redegøre for gennem bevisførelse, men derimod at kunne anvende teorier og redskaber på en række problemstillinger sat i en didaktisk ramme (klassiske matematikopgaver, som kendes fra den skriftlige eksamen). I den matematiske modellering anvender ligeledes matematiske teorier og redskaber, men her er problemstillingerne fra virkeligheden og typisk mere åbne end problemstillingerne sat i en didaktisk ramme, da eleverne ofte selv skal opstille den matematiske model. Der er ikke et fast skel men derimod en glidende overgang mellem de to typer problemstillinger. Og begge typer problemstillinger kan træne en række matematematiske problemløsningsmetoder. Man kan inddele disse problemløsningsmetoder i tre:
Grafisk problemløsningsmetode; eksempelvis at måle og analysere geometriske figurer eller grafiske fremstillinger af funktioner.
Algebraiske (formal) problemløsningsmetoder; eksempelvis løsning af ligninger eller reducering af algebraiske udtryk.
Numerisk problemløsningsmetoder; løsning af samme problemer som 1) og 2) med hjælp af computere, der eksempelvis løser et bestemt integral ved at beregne arealet.
Disse tre problemløsningsmetoder samt skelnet mellem opgaver og modeller og skelnet mellem tilegnelse og anvendelse af redskaber fremstår tydeligt i læreplanen.
Eleverne skal kunne:
– håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold
– anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog
– anvende funktionsudtryk og afledet funktion i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne, kunne analysere givne matematiske modeller og foretage simuleringer og fremskrivninger
– anvende forskellige fortolkninger af stamfunktion og forskellige metoder til løsning af differentialligninger
– opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer på grundlag af trekantsberegninger samt kunne give en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer og udnytte dette til at svare på givne teoretiske og praktiske spørgsmål
– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling
– anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer.