Ademir Damazio
Ágatha de Souza Niero
Cleber de Oliveira dos Santos
Cristina Felipe de Matos
Daniela de Souza de Oliveira
Dayane Goulart Martins Goulart
Ediséia Suethe Faust Hobold
Eloir Fátima Mondardo Cardoso
Francisco Carneiro Braga
Gislaine Tricheis Nazário Gomes
Iuri Kieslarck Spacek
Josélia Euzébio da Rosa
Jóyce Nurnberg
Juliana Nobre Nobrega
Mariana da Silva Fontes
Tiago Back
Orientar-se em nossos dias pela lógica formal tradicional implica fazer a ciência e o ensino regredir em aproximadamente um século.
(NARSKI apud KOPNIN, 1972, p. 82)
O conhecimento teórico se constitui como o conteúdo da atividade de aprendizagem dos estudantes. Surge do processo de análise de certa relação peculiar dentro do sistema integral, que possibilita revelar a relação geneticamente inicial da base universal. A transformação mental dos objetos reflete suas relações e conexões internas, na qual se fixa o enlace do universal com singular. A sua concretização consiste na dedução e explicação das manifestações particulares e singulares do sistema a partir do seu fundamento universal e se expressa pelos procedimentos da atividade mental. Percebe-se que o pensamento teórico possui características peculiares que as diferencia do pensamento empírico. Davýdov (1982) afirma que a interpretação comum de que o pensamento teórico se apoia no empírico é equivocada. Ao contrário, para Davýdov (1982) e Davídov (1988), o empírico, sustentado na lógica formal tradicional, obstaculiza o desenvolvimento do pensamento teórico.
No presente texto, apresentamos as especificidades dos processos de abstração, generalização e formação do conceito no movimento de redução do concreto ao abstrato, bem como de ascensão do abstrato ao concreto, guiados pela lógica que sustenta o pensamento teórico, a dialética.
Mas, antes de falar em pensamento teórico, faz-se necessário explicitar o entendimento do que é pensamento, numa perspectiva materialista dialética. Segundo Kopnin (1978, p. 121, grifo do autor), “o pensamento é o reflexo da realidade sob forma de abstrações.” Em outras palavras, é um modo pelo qual o ser humano conhece a realidade objetiva.
Tendo como referência a epígrafe, é oportuno dizer que a lógica formal tradicional (ou clássica), historicamente, tornou-se insuficiente para as demandas do pensamento teórico científico. Essa nova forma de pensamento se fundamenta em uma outra lógica, na perspectiva do materialismo histórico-dialético — que não nega em absoluto a lógica formal, mas a supera por incorporação —, que se constitui em “método geral do conhecimento científico” (DAVÍDOV, 1988, p. 108). Este método possibilita analisar de maneira concreta o objeto e os fatos da realidade (KOPNIN, 1978). Portanto, nessa perspectiva, cria-se e aperfeiçoa-se um modo para o pensamento teórico.
A fonte do pensamento teórico é sensorial, uma vez que em sua gênese estão objetos e fenômenos sensorialmente perceptíveis do mundo que nos rodeia. No entanto, diferentemente do pensamento empírico, desde o ponto de partida nessa fonte se revelam “as inter-relações dos objetos separados, dentro do todo, dentro do sistema de sua formação” (DAVÍDOV, 1988, p. 131). Nesse caso, o modo de apreender os objetos e fenômenos é distinto do pensamento empírico.
Pensar teoricamente permite revelar as passagens, o movimento, o desenvolvimento e a natureza das coisas (DAVÍDOV, 1988). A apropriação dessa forma de pensamento permite que a generalização, em unidade com a abstração e a formação de conceitos, constitua-se em um único processo. Para Davídov (1988), a abstração, no âmbito do pensamento teórico, possibilita ao ser humano a separação da relação inicial de certo sistema integral. No movimento mental de ascensão à essa relação, conserva-se o que é específico. Entretanto, na generalização, revela-se o aspecto geral que alicerça a unidade interna do sistema integral.
A abstração não constitui um fim em si mesmo, mas um meio, um recurso para obter conhecimento dos fenômenos e o que eles têm de concreto. “Por esse motivo, alcançando o nível necessário de abstração, quando a essência dos fenômenos, sua lei, são descobertos, o pensamento começa a se mover na direção inversa, do abstrato ao concreto, para refletir o concreto com base na abstração alcançada, unindo a diversidade de propriedades e facetas da coisa” (ILIENKOV, 2006, p. 161-162).
Nesse sentido, o processo de abstração, inicialmente, busca apreender a essência para que, em seguida, reflita o fenômeno de maneira mais complexa, como uma unidade fundamentalmente articulada pela essência. Portanto, a essência é entendida como “a conexão interna que, como fonte única, como base genética, determina todas as outras especificidades particulares do todo. [...] A essência é a determinação universal do objeto” (DAVÍDOV, 1988, p. 146).
Ao identificar essa relação geral, o processo de generalização possibilita revelar e acompanhar o movimento das reais inter-relações entre o universal com o particular e o singular, no âmbito dos objetos ou dos fenômenos analisados (DAVÍDOV, 1988).
É importante destacar que, no pensamento teórico, o concreto aparece duas vezes: como ponto de partida e como ponto de chegada (DAVÍDOV, 1988). O elo entre essas duas formas de manifestação do concreto são as abstrações.
Na fase inicial do processo de conhecimento, ocorre a transição do concreto sensorial para o abstrato. Na próxima fase, estabelece-se os nexos entre a essência e os demais elementos do objeto, o que consiste no movimento do abstrato para o concreto.
De forma resumida, o pensamento teórico se realiza percorrendo fundamentalmente dois caminhos: o de redução e o de ascensão. Eles descrevem o movimento do pensamento que vai do concreto, dado na forma inicial como concreto-sensorial, ao abstrato; e do abstrato ao concreto, entendido, dessa vez, como síntese das múltiplas determinações. Esses momentos, — opostos e complementares — refletem “[...] a redução do conteúdo (abstração) e o retorno para o concreto” (LEFEBVRE, 1991, p. 131).
Vale sublinhar que o processo de redução está indissoluvelmente ligado à dedução. “O resultado da redução tem que assegurar a dedução, isto é, ser ao mesmo tempo a forma inicial do conceito; a realização da dedução deve explicitar a legitimidade da redução, isto é, ser ao mesmo tempo a forma da generalização” (DAVÍDOV, 1988, p. 152).
Na interconexão entre o processo de redução e ascensão, ocorre a formação do conceito que revela sua genuína importância teórica e seu conteúdo inicial. Nele, reúnem-se, de forma sintética, os dados da contemplação e representação, isto é, todo o conjunto de referências fáticas sobre o objeto. Apartado desse processo, o conceito simplesmente se torna uma palavra que consolida quaisquer conhecimentos anteriormente adquiridos.
O conceito é uma forma de atividade mental na qual o objeto idealizado e o sistema de suas relações são reproduzidos. Esta unidade viabiliza que a universalidade ou a essência do movimento do objeto material possam ser refletidas. Portanto, conceito é, ao mesmo tempo, “forma de reflexo do objeto material e meio de sua reprodução mental, de sua estruturação, isto é, como ação mental especial” (DAVÍDOV, 1988, p. 126).
Para Davídov (1988), ocorre a apropriação do conceito quando o indivíduo domina o procedimento geral de reprodução de um objeto, ou seja, quando atua conceitualmente com qualquer objeto de um sistema integral. Desse modo, a tarefa do pensamento teórico consiste na revelação da essência do movimento do objeto, expressa em forma de conceito.
Portanto, o conteúdo do conceito teórico são os processos de desenvolvimento dos sistemas integrais. Tal conteúdo “[...] aparece como reflexo dos processos de desenvolvimento, da relação entre o universal e o singular, entre a essência e os fenômenos [...]” (DAVÍDOV, 1988, p. 152). Sua peculiaridade está na formação do sistema integral, o todo, que revela as interrelações dos objetos, as partes. Nesse movimento, ultrapassa as coisas reais, dadas sensorialmente pela descoberta das dependências internas essenciais, não observáveis diretamente. A conexão interna aparece como objeto do pensamento teórico que, de forma articulada ao conceito, reúne e identifica as coisas diferentes, sua especificidade dentro do todo.
Essa interconexão dos objetos dentro do sistema integral ocorre “no trânsito do geral ao particular” (DAVÝDOV, 1982, p. 368, grifo do autor). O geral como base, fonte única de certa diversidade de fenômenos, determina essa interconexão. Davýdov (1982, p. 162) afirma que “o geral é uma relação específica de objetos reais [como, por exemplo, a relação entre grandezas] que desempenha o papel de base genética do desenvolvimento de um certo sistema [conceitual]”.
Na busca pela base genética, ocorrem os processos de abstração, generalização e formação do conceito, como meios de desenvolvimento do pensamento teórico, que tem por finalidade reproduzir a essência do objeto estudado. A unidade desses processos — abstração, generalização e conceito — caracteriza o conhecimento, compreendido como o resultado do pensamento (reflexo da realidade) e o procedimento de que se obtém tal resultado (operação mental).
Como forma de exemplificar, importa apresentar duas situações com fundamentos na proposição davydoviana. Nela, a introdução do conceito de multiplicação tem por base uma situação em que a unidade de medida é muito pequena, se comparada ao todo a ser medido (HOBOLD, 2014). Surge então a necessidade de adotar uma unidade de medida intermediária (I) entre a básica (U) e aquela a ser medida (A), conforme ilustrações 4, 5 e 6.
Figura 4 - Superfície de área A e unidade de medida U. Fonte: Elaboração dos autores, 2022.
O objetivo da tarefa é medir a superfície A com a unidade U (Figura 4). Porém, não basta a simples sobreposição de uma sobre a outra. Concomitantemente, em cada medição, marca-se um arco na reta numérica (Figura 5).
Figura 5 - Medição da superfície de área A com a unidade de medida U e registro da mediação na reta numérica. Fonte: Elaboração dos autores, 2022.
Como a unidade de medida U é pequena, o processo de medição um a um é trabalhoso. Para simplificar, cria-se uma unidade de medida intermediária I composta por unidades básicas (Figura 6).
Figura 6 - Construção da unidade de medida intermediária I. Fonte: Elaboração dos autores, 2022.
Nesse caso, uma unidade de medida intermediária (I) equivale a 6U, (I = 6U) e I cabe três vezes em A (A = 3I). As medidas são registradas, além da reta numérica, em outra representação: o esquema de setas (Figura 7).
Figura 7 - Medição da superfície de área A com a unidade intermediária I. Fonte: Elaboração dos autores, 2022.
Na figura anterior (7), estão os elementos que constituem a relação essencial do conceito de multiplicação: unidade básica (U), unidade de medida intermediária (I) e quantidade de vezes que ela cabe no todo (A). Estes elementos não se apresentam de forma direta aos órgãos dos sentidos, como ocorre na lógica formal. Eles são revelados com base na análise guiada pelas relações entre grandezas e o todo/partes. A definição de uma unidade intermediária é geradora de uma nova operação: a multiplicação. No caso específico, é representada por 6 x 3 = 18 unidades básicas. Outro exemplo é a tarefa particular e sua resolução proposta por Santos (2017), com base nas ações de estudo de Davídov (1988).
Para realizar o experimento objetal com estudantes, pode-se distribuir para cada um, um recorte retangular (terreno) e um pedaço de corda (barbante) com medidas diferentes. Porém, de modo que na lateral do recorte retangular caibam 9 cordas inteiras, mais um quarto delas.
Figura 8 – Experimento objetal de medição. Fonte: Adaptado de Santos (2016, p. 56).
No experimento objetal, revelam-se os dados necessários para a resolução da tarefa singular: (a) Unidade de medida básica (uma corda inteira); (b) Divisão da unidade básica em 4 partes iguais; (c) Unidade de medida intermediária; (d) Total de intermediárias.
Figura 9 – Representação dos dados na reta numérica. Fonte: Santos (2016, p. 57).
O resultado da medida na forma fracionária requer que se determine quantas vezes a unidade de medida intermediária cabe em 9 unidades de medida básicas. Assim, a unidade de medida intermediária (fração) cabe 4 vezes em cada unidade básica. Portanto, a unidade de medida intermediária caberá 9 x 4 = 36 vezes em 9 unidades de medida básicas.
Figura 10 – Representação gráfica de uma situação singular. Fonte: Santos (2016, p. 57).
Em 9 unidades há 36/4; portanto, 9 + ¼ = 36/4 + ¼ = 37/4. A Figura 11 mostra o resultado da medição da lateral do terreno.
Figura 11 – Representação de 37/4 na reta numérica. Fonte: Santos (2016, p. 58).
A mesma relação pode ser expressa no esquema de setas (Figura 12). Nele, explicita-se a relação interna entre unidade de medida básica (1), unidade de medida intermediária e o total de unidades de medida intermediárias.
Conforme o esquema de setas, a unidade de medida intermediária (E) cabe 4 vezes na unidade de medida básica (C). Dessa forma, temos: C = ¼ x 4 → E = ¼ x 1. Consequentemente, a unidade de medida intermediária cabe 37 vezes na grandeza em medição (A). Por conseguinte, temos: A = ¼ x 37 → A = 37/4. Portanto, a medida da lateral do terreno é 37/4 cordas.
Nos exemplos, o ponto de partida foi a necessidade humana de controlar quantidades durante a medição. Utilizouse uma unidade de medida intermediária como elemento mediador. As relações que sustentaram as transformações foram a de multiplicidade e divisibilidade. Sua interconexão é a base genética de todo um sistema conceitual que, na continuidade das reflexões, pode levar ao conceito de função, entre outros.
Figura 12 – Inter-relação dos elementos de uma situação singular. Fonte: Santos (2016, p. 58).
CEDRO, W. L., MORAES, S. P. G. de; ROSA, J. E. da. A atividade de ensino e o desenvolvimento do pensamento teórico em matemática. Ciência & Educação, [online]. p. 427-445. Bauru, 2010. Disponível em: https://doi.org/10.1590/S1516-73132010000200011
O texto que você acabou de ler é um verbete do livro "Verbetes da Atividade Orientadora de Ensino".
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Referência:
OLIVEIRA, Natalia Mota; PANOSSIAN, Maria Lucia (org.). Verbetes da atividade orientadora de ensino: grupo de estudos sobre situações desencadeadoras de aprendizagem. Capivari de Baixo: Editora Univinte, 2022.